07. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М. В.)

На этом уроке вы узнаете, что такое наибольший общий делитель (НОД), ознакомитесь с несколькими его свойствами, рассмотрите примеры и решите задачи для лучшего понимания темы.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

То, что человек изучает, называют объектом изучения. Например, ученый изучает бактерии. Бактерии – это объект изучения, а микроскоп – инструмент.

Но иногда инструмент превращается в объект. Когда мы измеряем время, то часы – это наш инструмент. А когда мы разбираем сами часы и изучаем, как они устроены, – то часы – это уже объект.

Так и с числами. Когда мы используем числа для счета предметов, нумерации домов и тому подобного, то числа были инструментом исследований. Так и было до сих пор. Но тема «Делимость чисел» – это уже изучение того, как устроены сами числа. Именно сейчас у нас с вами происходит этот переход. Числа из инструмента превратились в объект исследования.

Как только мы приступаем к изучению устройства чисел, то сразу сталкиваемся с главным свойством чисел.

Возьмём число, например

Оно делится на Значит, его можно представить как произведение с множителем

Число снова можно представить как произведение, и тоже.

Дальше ни один множитель не раскладывается. Можно их только записать в другом порядке.

Сами множители, числа, которые дальше не раскладываются, называются простыми множителями, простыми числами. Те, которые раскладываются, – составными числами.

Любое число можно записать как произведение таких простых множителей. И особенно важно, что такое разложение единственное. То есть не существует другого набора простых множителей, из которых можно было бы составить наше число

Основная теорема арифметики

Любое число можно представить в виде произведения простых множителей (чисел), и это разложение, единственное.

Вся тема «Делимость чисел» является следствием из основной теоремы арифметики. И признаки делимости на разные числа, и простые и составные числа, и наибольший общий делитель, и наименьшее общее кратное. На этом уроке мы подробно остановимся на изучении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Пример 1

Рассмотрим два числа: и

Что мы можем сказать об этих числах?

Во-первых, можно сказать, что одно больше другого.

Теперь поговорим об устройстве этих чисел: оба числа делятся на

Десять является общим делителем этих двух чисел.

Ещё они делятся на на Такие делители называются общими, они являются делителями и первого, и второго чисел.

Попробуем выяснить, сколько всего есть общих делителей и какой из них наибольший.

Для этого перепишем оба числа как произведение их простых множителей.

Множители – это и есть делители. Какие здесь общие?

Очевидно, 2 и 5. А наибольший – это составной, .

Для такого самого большого общего делителя, наибольшего, мы используем такое обозначение:

НОД

Всегда ли есть общие делители? Да, так как каждое число делится на Это такой простой факт, что мы эту единицу даже не пишем в разложении. То есть единица всегда является общим делителем для двух чисел.

Числа, у которых общим делителем является только единица, являются взаимнопростыми числами.

Как найти самый большой общий делитель, наибольший? Мы это уже делали. Нужно составить максимальный делитель из простых общих делителей каждого числа.

Пример 2

Найти НОД .

Разложим оба числа на множители:

Соберём НОД:

НОД

Пример 3

Аналогично поступаем, если у нас три или больше чисел.

Найти НОД

НОД

Самостоятельно вычислите:

1. НОД

1. НОД

2. НОД

3. НОД

Проверка:

1) 

НОД

2) 

НОД

Такие числа мы называем взаимно простыми.

При этом сами числа по отдельности могут быть составными, как в нашем примере.

3) 

НОД

4) 

НОД

Существует способ нахождения НОДа больших чисел без разложения. Он называется алгоритмом Евклида. Вы можете подробно с ним ознакомиться в уроке, перейдя по ссылке.

Сократить дробь .

Разложим числитель и знаменатель на простые множители (мы это уже делали).

Общими множителями являются и На них мы и сокращаем, то есть на Но это и есть НОД двух этих чисел.

НОД

Сократить дробь .

НОД

То есть у этих чисел нет других общих делителей. Значит, дробь нельзя сократить, она несократима.

Более подробно о сокращении дробей речь пойдёт на следующих уроках.

Рекомендованная литература

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А. Н., Чайковский И. В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А. Н., Сочилов С. В., Чайковский К. Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверь себя

1. Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила руб., а Маша – на руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая?

2. Найти НОД .