07. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М. В.)

На этом уроке вы узнаете, что такое наименьшее общее кратное (НОК), ознакомитесь с несколькими его свойствами, рассмотрите примеры и решите задачи для лучшего понимания темы.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

Числа, которые делятся на мы называем кратными Например, или кратны кратно Числа, которые делятся одновременно и на и на естественно называть общими кратными и

Общих кратных мы можем найти сколько угодно. Например, и т. д.

Естественный вопрос: как найти самое меньшее из общих кратных, наименьшее общее кратное?

Из найденных кратных для и пока наименьшее – это Но является ли оно наименьшим общим кратным?

Разложим наши числа на множители:

Сконструируем такое число, которое делится на и на Чтобы делиться на нужно иметь множители и Чтобы делиться на нужно иметь множители и Но уже есть, осталось добавить Полученное число – это общее кратное для и При этом не получится построить число меньше этого, чтобы оно тоже было общим кратным.

Значит, это и есть наименьшее общее кратное. Для него мы используем обозначение НОК.

НОК

Найдём НОД и НОК для чисел и

НОД

НОК

Самостоятельно вычислите:

1. НОК

2. НОК

3. НОК

Проверяем:

1)

НОК

2)

НОК

3)

НОК

Чтобы понять, что такое НОД и НОК, не обойтись без разложения на множители. Но, когда мы уже поняли, что это такое, уже не обязательно каждый раз раскладывать на множители.

Например:

Вы можете легко убедиться, что для двух чисел, где одно делится на другое, меньшее является их НОДом, а большее – НОКом. Попробуйте сами объяснить, почему это так.

НОД

НОК

Длина шага папы – см, а у маленькой дочери – см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?

Папа и дочь начинают движение. Сначала ноги находятся на одной отметке. Пройдя несколько шагов у них ноги снова встали на одну отметку. Значит, и у папы, и дочери получилось целое количество шагов до этой отметки. Значит, расстояние до нее должно делиться на длину шага и папы, и дочери.

То есть мы должны найти НОК :

НОК

То есть это случится через см м см.

Нетрудно понять, что папа сделает шага, а дочь – (рис. 1).

Задача 1

У Пети в сети «ВКонтакте» друзей, а у Вани – Сколько всего друзей у Пети и Вани вместе, если общих друзей

Ответ – неверный, ведь у них могут быть общие друзья.

Решим эту задачу так. Изобразим множество всех друзей Пети кругом. Изобразим множество друзей Вани другим кругом, побольше.

Эти круги имеют общую часть. Там находятся общие друзья. Эта общая часть называется «пересечение» двух множеств. То есть множество общих друзей – это пересечение множеств друзей каждого.

Если общих друзей то слева – это друзья только Петины, а – только Ванины (см. рис. 2).

Сколько всего?

Всё большое множество, состоящее из двух кругов, называется объединением двух множеств.

На самом деле ВК сам решает за нас задачу пересечения двух множеств, он сразу указывает множество общих друзей, когда вы заходите на страничку другого человека.

Ситуация с НОДом и НОКом двух чисел очень похожа.

Задача 2

Рассмотрим два числа: и

Их простые множители изобразим в кругах (см. рис. 3).

Пересечение множеств – это общие делители. Из них состоит НОД.

НОД

Объединение двух множеств дает нам НОК.

НОК

Рекомендованная литература

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А. Н., Чайковский И. В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А. Н., Сочилов С. В., Чайковский К. Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверь себя

1. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

2. Найдите НОК чисел:

a) 6 и 8

b) 6 и 9

c) 12 и 30

d) 3 и 4

1. Найдите простые множители наименьшего общего кратного чисел: и если: