Тангенс суммы и разности аргументов

Тангенс суммы

Пусть даны ; . Найти .

Решение

Введем ограничение: ;  и разделим все выражение на произведение косинусов:

 

Тангенс суммы аргументов

ОДЗ левой части: . ОДЗ правой части: ; ; .

То есть при применении данной формулы возможна потеря корней вида:

, ; ,

 

Рассмотрим частные случаи

1. Пусть один из косинусов равен нулю, например   , .

Тогда .

Применив формулы приведения, получаем:

2. Пусть оба косинуса равны нулю: , ; ,

Тогда:

При замене правой части на левую происходит расширение ОДЗ, возникает опасность получения посторонних корней вида:

, ; ,

Чтобы этого избежать, выполняем замену следующим образом:

 

Тангенс разности

Формулу тангенса разности аргументов можно получить несколькими способами. Можно вывести по аналогии с тангенсом суммы – тогда будет четко понятен момент искажения ОДЗ.

Но можно получить тангенс разности как частный случай тангенса суммы:

Согласно нечетности тангенса: .

 

Тангенс разности аргументов

ОДЗ левой части: . ОДЗ правой части: ; ;

По аналогии с тангенсом суммы можно расписать, как поступать при возникновении ситуаций, когда ,  и/или , .

Примеры на вычисление

Пример

Вычислить .

Решение:

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

 

Пример

Вычислить .

Решение:

 

Пример

Вычислить .

Решение

Типичная ошибка применения формулы

Пример

Вычислить , если .

Типовая ошибка здесь в применении формулы тангенса суммы, несмотря на ОДЗ:

Но  не существует.

Верное решение:

 

Вывод: формулы тангенса суммы и разности аргументов можно применять только в том случае, когда тангенсы каждого из аргументов в отдельности существуют.

Второй вариант решения

Пример

Вычислить .

Альтернативное решение:

По формулам приведения:

Из первого примера:

Тангенс и котангенс связаны соотношением:

Отсюда:

Решение уравнений и преобразование выражений

Вычислить .

Решение

Применим формулу тангенса разности аргументов. Здесь один из аргументов сложный, это :

Важно учесть ОДЗ – должен существовать  и :

,

Пример

. Найти .

Решение

Применим формулу тангенса суммы аргументов:

  ,   ,   

ОДЗ: .

Рассмотрим частный случай, когда ; , :

Полученное равенство не соответствует условию.

Ответ: .

 

Пример

;  найти .

Решение

Имеем право применить формулу тангенса суммы аргументов, так как тангенс каждого аргумента существует:

Решение более сложного уравнения с использованием формулы тангенса разности аргументов

Пример

Решение

По формуле тангенса разности аргументов:

Учтем ОДЗ:

,

Подставим найденное решение во второе выражение ОДЗ:

Получено несоответствие – в левой части выражения стоит ноль. Так, данное уравнение не имеет решений.

Нахождение угла между двумя произвольными прямыми

Дано: ; .

Найти угол  – см. рис. 1.

Рис. 1. Чертеж к задаче

Мы знаем, что коэффициент перед  в уравнении наклонной прямой есть тангенс ее наклона к оси абсцисс:

;

Также мы знаем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

По формуле тангенса разности аргументов:

Подчеркнем: считаем, что .

Угол между прямыми – это наименьший угол, образованный при их пересечении, поэтому ответ: .

Рассмотрим частный случай, когда прямые перпендикулярны, см. рис. 2.

Рис. 2. Частный случай

;

Что есть условие перпендикулярности прямых.

 

Пример

Найти , см. рис. 3.

Рис. 3. Пример

;

Тангенсы углов  и  существуют.

 – прямые не перпендикулярны, и искомый тангенс существует. По формуле:

Вывод

Итак, мы вывели и изучили формулы тангенса суммы и разности двух аргументов, решили типовые примеры.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.sernam.ru (Источник).
2. Urokimatematiki.ru (Источник).
3. Yaklass.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Вычислить:  ; 
2. Найти , если ; .
3. Вычислить: ;
4. Доказать тождество: