Задача.

Построить график функции .

Преобразуем формулу: .

Найдем период данной функции. У функции наименьший период . У функции , если понизить степень и выразить через - период . Итак,

функция имеет наименьший период . Это означает, что график функции сначала можно построить на промежутке длиной , а потом продолжить по периодичности.

Функция четная, так как для всех из . График симметричный относительно оси .

Учитывая периодичность функции, можно построить график этой функции на любом промежутке, длиной . Свойство четности функции дает возможность задачу упростить, а именно, построить график на участке , а на участке - построить по симметрии.

Найдем интервалы знакопостоянства функции.

: .

, когда , отсюда

Знак функции на каждом интервале удобно определить с помощью единичной окружности (см. рис.1). Точки , , - точки, которые формируют интервалы знакопостоянства функции.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции на единичной окружности

Выясним знак функции на интервале . Для этого возьмем значение функции в какой-нибудь точке из этого интервала. Например,

, значит, на этом интервале функция отрицательна. Дальше, на интервале функция меняет знак. В силу симметрии, на интервале - функция отрицательна, а на интервале - функция положительна (см. рис.2).

Рис. 2 Интервалы знакопостоянства функции

Построим график функции в окрестности каждого корня.

Точка - является точкой максимума, так как на промежутках и - функция отрицательна, кривая находится под осью , и только в точке она равна нулю. Значит, функция в окрестности корней ведет себя следующим образом (см. рис.3):

Рис. 3. График функции в окрестности каждого корня