1. Особенности исследования тригонометрических функций
Тригонометрические функции имеют важную особенность – наличие периода. Всю методику, которую знаем для исследования функций без тригонометрических включений, используем, но надо учесть наличие периода.
Наличие периода дает возможность провести исследование функции и построение графика на отрезке длиной, равной периоду. Затем график функции периодически распространяется для всех значений аргумента из области определения функции.
2. Исследование функции без использования производной
Задача.
Построить график функции 
.
Преобразуем формулу: 
.
Найдем период данной функции. У функции 
наименьший период 
. У функции 
, если понизить степень и выразить через 
- период 
. Итак,
функция 
имеет наименьший период . Это означает, что график функции сначала можно построить на промежутке длиной , а потом продолжить по периодичности.
Функция четная, так как 
для всех 
из 
. График симметричный относительно оси 
.
Учитывая периодичность функции, можно построить график этой функции на любом промежутке, длиной . Свойство четности функции дает возможность задачу упростить, а именно, построить график на участке 
, а на участке 
- построить по симметрии.
Найдем интервалы знакопостоянства функции.
: 
.
, когда 
, отсюда 
Знак функции на каждом интервале удобно определить с помощью единичной окружности (см. рис.1). Точки 
, 
, 
- точки, которые формируют интервалы знакопостоянства функции.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции на единичной окружности
Выясним знак функции на интервале 
. Для этого возьмем значение функции в какой-нибудь точке из этого интервала. Например,
, значит, на этом интервале функция отрицательна. Дальше, на интервале 
функция меняет знак. В силу симметрии, на интервале 
- функция отрицательна, а на интервале 
- функция положительна (см. рис.2).
Рис. 2 Интервалы знакопостоянства функции
Построим график функции в окрестности каждого корня.
Точка - является точкой максимума, так как на промежутках и - функция отрицательна, кривая находится под осью 
, и только в точке она равна нулю. Значит, функция в окрестности корней ведет себя следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. График функции в окрестности каждого корня
3. Исследование функции с помощью производной и построение графика
Понятно, что на интервалах и – функция будет иметь точки экстремума.
Исследуем функцию с помощью производной:
Приравняем ее к нулю:
, отсюда 
.
Найдем критические точки:
- это все критические точки, которые имеет функция. Но нам нужны те, которые попадают в выбранный промежуток: 
, , 
. Вычислим значение функции в точках , и определим – это точки максимума или минимума.
Найдем интервалы знакопостоянства производной на единичной окружности (см. рис.4).
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной
Найдем знак производной, в какой- либо точке из интервала 
:
. Таким образом, точка 
- точка минимума, а - точка максимума. Вычислим:
; 
.
Построим график функции (см. рис.5-6).
Рис. 5. График функции на 
Рис. 6. График функции
Одна из типовых задач – нахождение множества значений функции.
Ответ: 
.
4. Итог урока
На уроке рассмотрены особенности исследования и построения графика тригонометрической функции. Все типовые задачи решаются аналогично задачам из предыдущих уроков.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Домашнее задание
№ 726(а), 739(а) (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)
