Дано: ; .

Существует ; .

Доказать, что существует производная от произведения и вычисляется она по правилу:

Доказательство

Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение , вторая, соответственно, . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Разностное соотношение

Рис. 1. Разностное соотношение

Площадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.

Составим разностное соотношение. Пусть , ищем :

При :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим важное следствие. Пусть , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.