Производная суммы
Дано: 
; 
.
Существует 
; 
.
Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:
Доказательство
Пусть задана функция 
, требуется найти 
.
По стандартному алгоритму требуется найти отношение 
:
При 
получаем:
Что и требовалось доказать.
Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
Аналогично производная разности функций равна разности производных:
Пример
1. 
.
2. Найти значение производной функции 
в точке 
:
; 
Производная произведения
Дано: 
; 
.
Существует 
; 
.
Доказать, что существует производная от произведения 
и вычисляется она по правилу:
Доказательство
Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение 
, вторая, соответственно, 
. Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.
Рис. 1. Разностное соотношение
Площадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.
Составим разностное соотношение. Пусть 
, ищем :
При :
А первое слагаемое стремится к нулю, так как стремится к нулю.
Так, производная произведения функций:
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим важное следствие. Пусть 
, константа. Согласно правилу:
Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная степенной функции
Производная степенной функции:
Рассмотрим частные случаи:
; 
Найдем эту производную по правилу произведения:
С другой стороны:
И так далее.
Поэтому угадывается формула:
– мы принимаем ее без доказательства.
Производная частного
Дано: ; .
Существуют ; .
При этом 
, а значит, существует дробь 
.
Доказать, что существует производная частного и вычисляется по формуле:
Доказательство
Представим 
.
Тогда по формуле производной произведения:
С другой стороны:
Из этих двух выражений получаем уравнение:
Умножим все уравнение на 
:
Что и требовалось доказать.
Решение примеров
Пример
Пример
Найти 
, если 
.
Решение
Вывод
Итак, мы рассмотрели правила дифференцирования и решили типовые примеры.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
- А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Найти производную:
; 
; 
- Найти производную:
; 
- Найти производную в точке
: 
