Тема: Производная
Урок: Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
1. Техника дифференцирования
Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.
Повторим ее на следующем примере.
Дана функция 
. Найти 
.
Напомним, что 
.
. 
- постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а 
. Отсюда, 
.
Следующее действие – найти производную в конкретной точке.
. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке 
, а потом подставляем нужное значение.
2. Исследование функции и построение графика (задача 1)
Построить график функции 
.
Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.
1. Интервалы знакопостоянства функции.
: 
.
Найдем корни (нули) функции: 
или 
.
Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью 
(см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции 
.
2. Построить график в окрестности каждого корня.
Функция в точке 
равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна, значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):
Рис. 2. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Точек разрыва нет, и когда 
, то 
. Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. Схематический график функции при .
Построили эскиз графика функции.
3. Проведем исследование функции с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
отсюда 
.
Оба значения принадлежат области определения.
Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Итак, 
- точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Найдем значение функции в этой точке:
. Точка - точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». Вычислим 
.
Таким образом, можем построить график функции (см. рис. 5).
Рис. 5. График функции .
3. Решение задачи с параметром
Дано уравнение 
. Найти положительное значение параметра 
, при котором уравнение имеет ровно два различных решения.
Решение.
Воспользуемся графиком функции (см. рис.5). При 
уравнение имеет два различных корня, но по условию 
поэтому 
.
Ответ: При .
Итак, мы рассмотрели функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удаленных точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.
4. Исследование функции и построение графика (задача 2)
Построить график функции 
.
Решение.
Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.
: 
.
Найдем нули функции.
или 
. Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.
Итак, знаем, что на промежутке 
график функции будет находиться над осью , а на промежутке 
- под осью .
Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).
Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Если 
, то 
. График идет следующим образом (см. рис.8):
Рис. 8. Эскиз графика функции .
Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.
Проведем исследование функции с помощью производной.
Приравняем производную к нулю, получим:
, отсюда 
- единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):
Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.
Осталось вычислить значение функции в точке .
Итак, координаты точки экстремума таковы: 
Рис. 10. График функции .
Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.
Например, найти все значения параметра , при которых уравнение 
не имеет решений.
Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).
Рис. 10. Множество значений функции.
Ответ: уравнение не имеет решений при всех 
.
5. Итог урока
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность. Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 45.9, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
