Построить график функции .

Решение.

Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.

: .

Найдем нули функции.

или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).

Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.

Итак, знаем, что на промежутке график функции будет находиться над осью , а на промежутке - под осью .

Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).

Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.

Если , то . График идет следующим образом (см. рис.8):

Рис. 8. Эскиз графика функции .

Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.

Проведем исследование функции с помощью производной.

Приравняем производную к нулю, получим:

, отсюда - единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.

Осталось вычислить значение функции в точке .

Итак, координаты точки экстремума таковы:

Рис. 10. График функции .

Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.

Например, найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет решений.

Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).

Рис. 10. Множество значений функции.

Ответ: уравнение не имеет решений при всех .