Определение синуса и косинуса
Поместим числовую окружность (окружность с радиусом, равным 1) в координатную плоскость (см. Рис. 1). Точки 
, 
, 
, 
– это точки пересечения числовой окружности с осями координат.
Рис. 1. Числовая окружность в координатной плоскости
Числу 
соответствует единственная точка 
с координатами 
. Первая координата – это косинус числа 
, вторая координата – это синус числа .
Если точка
на числовой окружности соответствует числу
, а ординату точки
.
– это линия синусов. Синус любого числа лежит в пределах от 
до 
.
– это линия косинусов. Косинус любого числа лежит в пределах от до .
Задача 1
Дано: 
.
Найти: 
; 
.
Решение
Решим данную задачу двумя способами:
1 способ (см. Рис. 2)
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
1. Отметим на единичной окружности точку 
, которая соответствует заданному числу :
Число 
можно представить в виде 
. Точка на числовой окружности соответствует числу 
, следовательно, точка будет лежать на числовой окружности в третьем координатном углу.
2. Опускаем перпендикуляры из точки на оси координат:
- точка 
– это точка пересечения перпендикуляра с осью 
, координаты этой точки 
.
- точка – это точка пересечения перпендикуляра с осью 
, координаты этой точки 
.
3. Рассмотрим 
:
- гипотенуза 
.
- угол 
равен угловому измерению дуги 
, то есть 
.
- катет 
равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла, то есть:
- этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из его углов равен 
, следовательно: 
Так как 
, то 
.
Значит, 
, 
(в обоих случаях знак минус, так как точка лежит на числовой окружности в третьем координатном углу, где значения координаты 
и 
отрицательны).
2 способ
Воспользуемся следующими свойствами:
Согласно этим свойствам получаем:
Ответ: ; .
Задача 2
Решить уравнение:
1. 
Решение
Синус числа – это ордината точки, находящейся на числовой окружности (см. Рис. 3). Поэтому чтобы определить, где , нам надо найти, где на единичной окружности 
. Двигаясь вверх по оси , попадаем в точку , которая соответствует числу 
.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Это только одна из точек, в которых синус равен 1. Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к 
прибавить 
, где 
– целое число, то есть 
.
Ответ: 
, где 
.
2. 
Решение
Отрезок – это линия синусов (см. Рис. 3). При этом значение синус принимает в точке , которая соответствует числу 
. Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к прибавить , где – целое число, то есть .
Ответ: 
, где .
3. 
Решение
Отрезок 
– это линия косинусов (см. Рис. 4). Обозначим на этой линии точку с координатами 
. Эта точка будет лежать посередине отрезка 
, так как 
.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Проведем через точку перпендикуляр к оси . Мы получили две точки на пересечении перпендикуляра и числовой окружности – и 
(только эти точки проектируются на линию косинусов в точку ).
Необходимо определить длину дуги 
. Данная дуга состоит из дуги 
, длина которой равна , и дуги 
:
Для того чтобы определить длину дуги , рассмотрим треугольник 
. Этот треугольник прямоугольный, катет равен половине гипотенузы 
, следовательно, угол 
. Так как углы 
и 
– это накрест лежащие углы, то 
. Отсюда следует, что 
.
Таким образом:
Следовательно, точке соответствуют числа 
, где – целое число. Аналогично точке соответствуют числа 
, где – целое число.
Ответ: 
, где .
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт kursoteka.ru (Источник)
2. Интернет-сайт hijos.ru (Источник)
3. Интернет-сайт YouTube (Источник)
4. Интернет-сайт YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 13.2, 13.28 (стр. 77–80) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)
2. Решите уравнение 
.
3. Найдите значение выражения 
, если 
.
