Решить уравнение:

1.

Решение

Синус числа – это ордината точки, находящейся на числовой окружности (см. Рис. 3). Поэтому чтобы определить, где , нам надо найти, где на единичной окружности . Двигаясь вверх по оси , попадаем в точку , которая соответствует числу .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Это только одна из точек, в которых синус равен 1. Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к прибавить , где – целое число, то есть .

Ответ: , где .

2.

Решение

Отрезок – это линия синусов (см. Рис. 3). При этом значение синус принимает в точке , которая соответствует числу . Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к прибавить , где – целое число, то есть .

Ответ: , где .

3.

Решение

Отрезок – это линия косинусов (см. Рис. 4). Обозначим на этой линии точку с координатами . Эта точка будет лежать посередине отрезка , так как .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Проведем через точку перпендикуляр к оси . Мы получили две точки на пересечении перпендикуляра и числовой окружности – и (только эти точки проектируются на линию косинусов в точку ).

Необходимо определить длину дуги . Данная дуга состоит из дуги , длина которой равна , и дуги :

Для того чтобы определить длину дуги , рассмотрим треугольник . Этот треугольник прямоугольный, катет равен половине гипотенузы , следовательно, угол . Так как углы и – это накрест лежащие углы, то . Отсюда следует, что .

Таким образом:

Следовательно, точке соответствуют числа , где – целое число. Аналогично точке соответствуют числа , где – целое число.

Ответ: , где .

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт kursoteka.ru (Источник)

2. Интернет-сайт hijos.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

4. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задание 13.2, 13.28 (стр. 77–80) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Решите уравнение .

3. Найдите значение выражения , если .