Тема: Тригонометрические уравнения
Урок: Арксинус
1. Тема урока, введение
Мы знаем, что такое арккосинус, и можем решать уравнения вида 
Познакомимся с понятием арксинус.
2. График функции y=sint, понятие арксинуса
Подробно рассмотрим построение графика функции 
Отмечаем на оси x аргументы, кратные 
Значения функции для этих аргументов являются табличными и хорошо нам известны. Строим график по полученным точкам (рис. 1).
Мы выбрали промежуток 
т.к. на нем функция принимает все свои значения от 
до 
. Также на данном промежутке функция 
монотонно возрастает. Это значит, что и прямая, и обратная задачи имеют единственное решение.
Задали значение функции – получили единственное значение аргумента из промежутка 
. Например, значение 
достигается только при 
значение 
достигается только при 
3. Определение и свойства арксинуса
Зададим произвольное 
(рис. 2). Оно достигается при единственном значении аргумента 
называется арксинусом 
Арксинус – это такой угол из заданного отрезка , синус которого равен
Определение: Если 
то арксинус 
это такое число 
из отрезка , синус которого равен 
Покажем на графике (рис. 3).
Например:
Нахождение арксинуса – это решение обратной задачи для исходной функции: по значению синуса найти соответствующее значение аргумента. Это можно сделать не только на графике, но и на числовой окружности.
Арксинусы располагаются на дуге (рис. 4).
Рисунок наглядно показывает, что, например:
Отметим важное свойство арксинуса: 
Покажем это на числовой окружности. Отметим на оси y числа 
(рис. 5).
Числу 
соответствует дуга 
числу 
– дуга 
Эти дуги равны по величине, но противоположны по знаку, значит, их сумма равна нулю.
Например: 
4. Решение задач
Рассмотрим типовые вычислительные задачи.
Задача 1. Вычислить:
Решение:
Значения арксинусов можно определять по графику (рис. 1).
Ответ: 
Задача 2. Сравнить 
Решение:
На отрезке значение 0,9 достигается при единственном значении аргумента, это 
Значение 0,1 также достигается при единственном значении аргумента, это 
На отрезке функция
монотонно возрастает (рис. 6).
Задача 3. Вычислить:
a) 
b) 
Решение:
При решении подобных задач используется следующий приём:
1. Арксинус обозначается за 
2. Расписывается определение арксинуса.
a) 
Укажем еще один способ решения той же задачи.
По условию нам дан угол 
в прямоугольном треугольнике, и его синус равен 
т.е. гипотенузу можно обозначить 
противолежащий катет 
(рис. 7).
Легко найти прилежащий катет, он равен 
получаем египетский треугольник.
Теперь можем найти косинус угла 
Ответ:
b) 
Эту задачу также можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 8).
Ответ: 
5. Свойство арккосинуса и арксинуса, доказательство тождества
Задача 4: Доказать тождество:
Проиллюстрируем тождество на числовой окружности (рис. 9).
На линии косинусов отметим число 
проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку 
В полученном прямоугольном треугольнике катет равен гипотенуза равна 1.
Такое же значение отложим на линии синусов. Проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку 
В этом прямоугольном треугольнике катет также равен гипотенуза равна 1.
Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство углов:
а значит 
Доказательство:
Пусть 
Следует доказать: 
Определим промежутки, которым принадлежат углы 
Оба угла принадлежат промежутку, на котором 
монотонно убывает, поэтому из равенства косинусов будет следовать равенство аргументов.
Вычислим 
Тождество доказано.
6. Вывод, заключение
Мы рассмотрели арксинус и решили некоторые типовые задачи. На следующем уроке мы используем арксинус для решения уравнения 
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 21.1 – 21.5, 21.46.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).
