04. Арксинус

Тема урока, введение

Мы знаем, что такое арккосинус, и можем решать уравнения вида . Познакомимся с понятием арксинус.

График функции y=sint, понятие арксинуса

Подробно рассмотрим построение графика функции при .

Отмечаем на оси аргументы, кратные или . Значения функции для этих аргументов являются табличными и хорошо нам известны. Строим график по полученным точкам (рис. 1).

Мы выбрали промежуток  т.к. на нем функция принимает все свои значения от до .

Также на данном промежутке функция  монотонно возрастает. Это значит, что и прямая, и обратная задачи имеют единственное решение.

Задали значение функции – получили единственное значение аргумента из промежутка.

Например, значение  достигается только при ; значение  достигается только при .

Определение и свойства арксинуса

Зададим произвольное  (рис. 2). Оно достигается при единственном значении аргумента  называется арксинусом .

Арксинус – это такой угол из заданного отрезка , синус которого равен .

Определение: Если , то арксинус - это такое число  из отрезка , синус которого равен .

Покажем на графике (рис. 3).

Например:

; .

Нахождение арксинуса – это решение обратной задачи для исходной функции: по значению синуса найти соответствующее значение аргумента. Это можно сделать не только на графике, но и на числовой окружности.

Арксинусы располагаются на дуге  (рис. 4).

Рисунок наглядно показывает, что, например:

;

;

.

Отметим важное свойство арксинуса: .

Покажем это на числовой окружности. Отметим на оси числа и  (рис. 5).

Числу  соответствует дуга , числу  – дуга . Эти дуги равны по величине, но противоположны по знаку, значит, их сумма равна нулю.

;

.

Например:

Решение задач

Рассмотрим типовые вычислительные задачи.

Задача 1. Вычислить:

.

Решение:

Значения арксинусов можно определять по графику (рис. 1).

;

;

;

;

.

Ответ: .

Задача 2. Сравнить и .

Решение:

На отрезке  значение 0,9 достигается при единственном значении аргумента, это . Значение 0,1 также достигается при единственном значении аргумента, это . На отрезке  функция  монотонно возрастает (рис. 6).

.

Задача 3. Вычислить:

a) ;

b) .

Решение:

При решении подобных задач используется следующий приём:

1. Арксинус обозначается за .

2. Расписывается определение арксинуса.

a) ;

.

Укажем еще один способ решения той же задачи.

По условию нам дан угол в прямоугольном треугольнике, и его синус равен , т.е. гипотенузу можно обозначить , противолежащий катет  (рис. 7).

Легко найти прилежащий катет, он равен - получаем египетский треугольник.

Теперь можем найти косинус угла :

.

Ответ: .

b) .

;

.

Эту задачу также можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 8).

.

Ответ: .

Свойство арккосинуса и арксинуса, доказательство тождества

Задача 4: Доказать тождество:

при .

Проиллюстрируем тождество на числовой окружности (рис. 9).

На линии косинусов отметим число , проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку . В полученном прямоугольном треугольнике катет равен , гипотенуза равна 1.

.

Такое же значение  отложим на линии синусов. Проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку . В этом прямоугольном треугольнике катет также равен , гипотенуза равна 1.

.

Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство углов: , а значит .

Доказательство:

Пусть

Следует доказать: или .

Определим промежутки, которым принадлежат углы и .

, т.к. ;

, т.к. .

Оба угла принадлежат промежутку, на котором  монотонно убывает, поэтому из равенства косинусов будет следовать равенство аргументов.

.

Вычислим и :

Тождество доказано.

Вывод, заключение

Мы рассмотрели арксинус и решили некоторые типовые задачи. На следующем уроке мы используем арксинус для решения уравнения .

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1 – 21.5, 21.46.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).