Теперь рассмотрим основные свойства и характеристики функций. И одной из важнейших характеристик функции является ее область определения.

Область определения функции – это множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Иными словами это допустимые значения икса. Это множество принято обозначать D или D(x).

При решении уравнений вы привыкли называть такое множество аргументов, которые в них входили, областью допустимых значений или ОДЗ. Для функций такой терминологией лучше не пользоваться, так как есть опасность перепутать областью допустимых значений аргумента с областью значений функции из-за схожести названий.

Искать область определения функции можно различными способами:

1) Если функция задана аналитически, как это чаще всего бывает, то в таком случае удобнее всего сначала найти те значения аргумента, при которых функция не имеет смысла, и исключить их из множества действительных чисел.

Например, для функции областью определения является , т.к. она определена при всех значениях икса, кроме нуля, поскольку на ноль делить нельзя.

Перечислим основные случаи, в которых необходимо искать не имеющие смысла для функции аргументы:

1. Наличие в функции деления на выражение, содержащее неизвестную. В таком случае исключаются те аргументы, при которых возникает деление на ноль. Например, в функции из области определения необходимо исключить аргументы, при которых , или сразу же наложить ограничение .

2. Присутствие в функции корня четной степени из выражения, содержащего неизвестную. При этом необходимо исключить аргументы, при которых подкоренное выражение отрицательно, в таком случае удобно сразу накладывать условие, что подкоренное выражение больше или равно нулю. Например, для функции областью определения будет решение неравенства .

Обратите внимание, что для корней нечетной степени, например, кубических такого ограничения нет.

3. Наличие в функции логарифмов, содержащих неизвестные выражения. В общем виде это можно записать так: если функция содержит , где и - это выражения, содержащие неизвестную, то областью определения будет решение системы неравенств

Например, для функции областью определения будет множество аргументов, которые удовлетворяют . Обратите внимание, что поскольку в данном примере основание логарифма – это константа, то она проверяется формально и это не записывается. Если бы в основании логарифма была, например , то функция в целом не имела бы смысла, и ее область определения не нужно искать.

Конечно же, функции могут содержать и композиции из указанных выражений, например, деление на логарифм от неизвестной. В таком случае для нахождения области определения записывается система из указанных ограничений. Кроме того, мы указали не все возможные ситуации, при которых необходимо искать ограничения на область определения. Чтобы вспомнить все подобные случаи повторите свойства функций, которые упоминались в нашем курсе ранее и в школьной программе. Например, тангенс имеет смысл не при всех значениях аргумента.

Функции, в которых нет действий, ограничивающих множество аргументов, областью определения является все множество действительных чисел. Это относится, например, к линейным и квадратичным функциям. Так для функции областью определения будет .

2) Для функций, заданных табличным способом, область определения явно указана в таблице – это все множество перечисленных аргументов.

Например, для функции, которая задана таблицей:

	-2		4,5
	7		1

Областью определения будет . Как видите, в случае табличного задания функции множество допустимых значений аргументов не является непрерывным и не может быть задано в виде промежутка, так как это определенный набор конкретных данных.

3) Если функция задана графически, т.е. изображен ее график, то областью определения будет множество значений координат точек графика по оси абсцисс. Иными словами необходимо искать все значения иксов, для которых изображены точки графика.

Например, для графика функции

Областью определения будет . Края отрезка не включены, т.к. на графике крайние точки выколоты.

Теперь рассмотрим такую характеристику функции как область значений.

Область значений функции – это множество значений функции, которые она принимает в своей области определения. Т.е. в стандартной записи функции это значения ее игрека. Множество значений функции принято обозначать E или E(y).

Задача на определение множества значений функции, как правило, более сложна, чем задача на поиск области определения. Дело в том, что в таком случае необходимо искать не ограничения на арифметические действия, а множество всех результатов этих действий, а это непросто.

Рассмотрим основные подходы к решению в данном случае.

1) Для функций, заданных аналитически, для поиска области значений можно использовать метод нахождения обратной функции, но этот способ не самый простой и не все функции однозначно обратимы. Для несложных примеров, обычно достаточно пользоваться заранее известными областями значений простейших функций. Перечислим такие самые часто встречающиеся функции:

1. Выражения, которые возводятся в четные степени, всегда неотрицательны. Например, или , для этих функций .

На нечетные степени указанное свойство не распространяется.

2. Функции, которые представляют собой корни четных степеней, также всегда имеют неотрицательные значения. Например, или , для них областью значений является .

Опять-таки, на корни нечетной степени это не распространяется, они могут иметь отрицательные значения.

3. Квадратичная функция тоже имеет ограниченную область значений. Это удобно увидеть на графике, изобразим, например, график функции . Проделаем это, опираясь на то, что вы помните из школьной программы. Конечно же, на следующем уроке мы отдельно подробно рассмотрим методы построения графиков таких функций. А пока воспользовавшись, к примеру, методом определения вершины параболы, получим такой график

Как видим, у функции из-за того, что ветки параболы направлены вниз, есть максимальное значение - восьмерка, а все остальные значения меньше. Таким образом, область значений этой функции . Для того чтобы получить этот ответ не обязательно рисовать график, достаточно просто уметь находить координату вершины параболы по оси ординат и помнить, что при положительном старшем коэффициенте функции, ее ветки направлены вверх, а при отрицательном вниз.

Таким образом, можно сформулировать алгоритм поиска области значений квадратичной функции: находим игрековую координату ее вершины и учитываем направление веток параболы по знаку старшего коэффициента, т.е. множителя при .

4. Показательная функция всегда принимает положительные значения. Например, , для нее .

5. Такие тригонометрические функции как синус и косинус имеют двухсторонние ограничения по области значений. Вспомним, что их значения ограничены промежутком .

При решении задач на определение области значений функции необходимо уметь использовать указанные ограничения на основные простейшие функции и преобразовывать их.

Мы привели не все известные нам ограниченные области значений простейших функций, вспомните, например, аркфункции. Для того чтобы не забыть такие ограничения, повторите все основные виды функций.

Нам известно множество функций, которые не имеют ограничения на область значений. Например, для линейных функций, которые не являются константами, областью значений является множество всех действительных чисел . Для примера вспомним, что к таким же функциям относится и тангенс с котангенсом.

Специфическим случаем является константная функция, для которой множеством значений является только одно число, хотя область определения не ограничена. Например, для функции : , а , т.е. функция всегда имеет одно и то же значение , что и указано в ее аналитической записи.

2) Для табличного способа задания функции нахождение области значений так же элементарно, как и области определения. Для этого просто достаточно перечислить все указанные в таблице значения функции. Выпишем область значений из таблицы, которую мы приводили для примера к области определения

	-2		4,5
	7		1

.

3) В случае графического способа задания функции область значений видна по графику, как и область определения. В данном случае необходимо указывать множество всех значений координат точек графика по оси ординат, т.е. всех игреков.

Приведем опять пример графика, по которому мы определяли область определения функции

Для него область значений .