Урок 12. Функции и их свойства. Теория

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент 

Урок 12. Функции и их свойства 

Теория

 

Конспект урока

Определение функции. Понятие ГМТ. Отличие функции от ГМТ

Мы начинаем с вами новую очень важную в математике тему «Функции». Школьный курс алгебры построен таким образом, что с понятием функция приходится встречаться очень часто на протяжении нескольких лет обучения. При этом, названия функций перекликаются с видами соответствующих им уравнений и неравенств. К примеру, когда речь идет о линейных функциях, то говорят и о линейных уравнениях и неравенствах, то же самое касается квадратичных, показательных, логарифмических и прочих функций. Для удобства мы с вами выделим обсуждение понятия «функция» и основных свойств функций в отдельную тему. Так что же такое функция? Вспомним определение.

Функция - этозакон соответствия между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует только одно определенное значение другой величины y (функции или зависимой переменной).

В указанном определении необходимо сразу обратить внимание на именно однозначное соответствие значений функции значениям аргумента.

Под функцией можно понимать как соответствие определенных чисел, так и других объектов. Например, каждому значению времени в минутах соответствует строго одно значение времени в секундах, при этом, закон соответствия этих величин нам известен – количество минут необходимо умножить на 60 и получится количество секунд. Скажем, в 3 минутах 180 секунд, а в 5 минутах 300 секунд. При этом каждому значению количества секунд соответствует строго одно определенное количество минут. Т.е. и зависимость секунд от минут и обратная зависимость являются функциями. Это мы привели пример числовой функции.

Примером нечисловой функции может быть однозначное соответствие человека и его фамилии. Обратите внимание, что у человека не может быть нескольких фамилий, но при этом есть однофамильцы, т.е. одной фамилии может соответствовать много разных человек, вспомните, например, сколько в России Ивановых. Это значит, что соответствие между человеком и фамилией однозначное, а обратное – нет. В первом случае соответствие будут называть функцией, а во втором нет.

Но не следует думать, что из приведенных примеров следует, что все числовые зависимости являются функциями, а нечисловые необязательно. Примером числовой зависимости, которая не является функцией, может быть соответствие между числом, на которое указывает стрелка часов, и временем суток. Например, часовая стрелка указывает на восьмерку, а это может означать как 8-00 утра так и 20-00 вечера.

Как же называть такие неоднозначные соответствия? Иногда их называют многозначными функциями, при этом, используя просто термин «функция» имеют в виду именно ее однозначность.

В математике нас, конечно же, будут интересовать именно числовые функции. Их удобно описывать именно графическим способом. При этом, графическое изображение однозначной функции называют построением графика функции, а изображение многозначной функции – построением геометрического места точек или ГМТ.

Давайте вспомним самые основные способы задания числовых функций:

1) Аналитический способ – задание функции с помощью формулы.

С таким способом мы сталкиваемся наиболее часто. Обозначать в общем виде такую формулу принято обычно как , где под  понимают аргумент, а под  значение функции. При этом, свободно используются, например, такие равноправные записи:

Что может означать указанная формула? Например, соответствие длины стены квадратной комнаты и ее площади. С помощью такой функции можно легко ответить, что такой комнате со стороной 4 метра соответствует одна единственная площадь .

Кстати, стоит обратить внимание, что обозначение аргумента и функции латинскими буквами  и   не принципиально. То же самое касается и обозначения правила соответствия между этими переменными с помощью буквы  (от слова «function»). Вполне нормальной будет запись функции в виде . Подумайте сами, какой буквой здесь что обозначено.

2) Табличныйспособ – задание функции с помощью таблицы связанных друг с другом значений. Такой способ зачастую используется, если не известно правило соотношения между аргументом и функцией. Примером такого задания функции может послужить таблица средних температур за несколько дней мая:

Число	1	2	3
Температура,	+14	+17	+16

3) Графический способ – задание функции с помощью изображения точек в системе координат, когда одной координате точек поставлена в однозначное соответствие другая ее координата. Например, в декартовой системе координат изображается множество точек, у которых поставлены в соответствие координаты по оси абсцисс (Ox) и координаты по оси ординат (Oy).

Если привести в пример график все той же функции , то он будет иметь вид не безызвестной вам параболы:

Такой способ задания функции очень наглядный и позволяет быстро анализировать различные ее свойства, например, монотонность, четность, периодичность и т.п. О них мы скоро поговорим.

Что касается различий в графических изображениях графиков функций и ГМТ многозначных функций, то существует быстрый способ их отличать друг от друга: любая вертикальная линия, проведенная в системе координат, пересекает график функции только в одной точке, а ГМТ многозначной функции в нескольких.

Изобразим это на рисунке.

График линейной функции – прямая или квадратичной – парабола:

 

ГМТ окружности или эллипса:

  

 

 

Область определения, область значений

Теперь рассмотрим основные свойства и характеристики функций. И одной из важнейших характеристик функции является ее область определения.

Область определения функции – это множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Иными словами это допустимые значения икса. Это множество принято обозначать D или D(x).

При решении уравнений вы привыкли называть такое множество аргументов, которые в них входили, областью допустимых значений или ОДЗ. Для функций такой терминологией лучше не пользоваться, так как есть опасность перепутать областью допустимых значений аргумента с областью значений функции из-за схожести названий.

Искать область определения функции можно различными способами:

1) Если функция задана аналитически, как это чаще всего бывает, то в таком случае удобнее всего сначала найти те значения аргумента, при которых функция не имеет смысла, и исключить их из множества действительных чисел.

Например, для функции  областью определения является , т.к. она определена при всех значениях икса, кроме нуля, поскольку на ноль делить нельзя.

Перечислим основные случаи, в которых необходимо искать не имеющие смысла для функции аргументы:

1. Наличие в функции деления на выражение, содержащее неизвестную. В таком случае исключаются те аргументы, при которых возникает деление на ноль. Например, в функции  из области определения необходимо исключить аргументы, при которых , или сразу же наложить ограничение .

2. Присутствие в функции корня четной степени из выражения, содержащего неизвестную. При этом необходимо исключить аргументы, при которых подкоренное выражение отрицательно, в таком случае удобно сразу накладывать условие, что подкоренное выражение больше или равно нулю.  Например, для функции  областью определения будет решение неравенства .

Обратите внимание, что для корней нечетной степени, например, кубических такого ограничения нет.

3. Наличие в функции логарифмов, содержащих неизвестные выражения. В общем виде это можно записать так: если функция содержит , где  и  - это выражения, содержащие неизвестную, то областью определения будет решение системы неравенств

Например, для функции  областью определения будет множество аргументов, которые удовлетворяют . Обратите внимание, что поскольку в данном примере основание логарифма – это константа, то она проверяется формально и это не записывается. Если бы в основании логарифма была, например , то функция в целом не имела бы смысла, и ее область определения не нужно искать.

Конечно же, функции могут содержать и композиции из указанных выражений, например, деление на логарифм от неизвестной. В таком случае для нахождения области определения записывается система из указанных ограничений. Кроме того, мы указали не все возможные ситуации, при которых необходимо искать ограничения на область определения. Чтобы вспомнить все подобные случаи повторите свойства функций, которые упоминались в нашем курсе ранее и в школьной программе. Например, тангенс имеет смысл не при всех значениях аргумента.

Функции, в которых нет действий, ограничивающих множество аргументов, областью определения является все множество действительных чисел. Это относится, например, к линейным и квадратичным функциям. Так для функции  областью определения будет .

2) Для функций, заданных табличным способом, область определения явно указана в таблице – это все множество перечисленных аргументов.

Например, для функции, которая задана таблицей:

	-2		4,5
	7		1

Областью определения будет . Как видите, в случае табличного задания функции множество допустимых значений аргументов не является непрерывным и не может быть задано в виде промежутка, так как это определенный набор конкретных данных.

3) Если функция задана графически, т.е. изображен ее график, то областью определения будет множество значений координат точек графика по оси абсцисс. Иными словами необходимо искать все значения иксов, для которых изображены точки графика.

Например, для графика функции

Областью определения будет . Края отрезка не включены, т.к. на графике крайние точки выколоты.

Теперь рассмотрим такую характеристику функции как область значений.

Область значений функции – это множество значений функции, которые она принимает в своей области определения. Т.е. в стандартной записи функции это значения ее игрека. Множество значений функции принято обозначать E или E(y).

Задача на определение множества значений функции, как правило, более сложна, чем задача на поиск области определения. Дело в том, что в таком случае необходимо искать не ограничения на арифметические действия, а множество всех результатов этих действий, а это непросто.

Рассмотрим основные подходы к решению в данном случае.

1) Для функций, заданных аналитически, для поиска области значений можно использовать метод нахождения обратной функции, но этот способ не самый простой и не все функции однозначно обратимы. Для несложных примеров, обычно достаточно пользоваться заранее известными областями значений простейших функций. Перечислим такие самые часто встречающиеся функции:

1. Выражения, которые возводятся в четные степени, всегда неотрицательны. Например,  или , для этих функций .

На нечетные степени указанное свойство не распространяется.

2. Функции, которые представляют собой корни четных степеней, также всегда имеют неотрицательные значения. Например,  или , для них областью значений является .

Опять-таки, на корни нечетной степени это не распространяется, они могут иметь отрицательные значения.

3. Квадратичная функция тоже имеет ограниченную область значений. Это удобно увидеть на графике, изобразим, например, график функции . Проделаем это, опираясь на то, что вы помните из школьной программы. Конечно же, на следующем уроке мы отдельно подробно рассмотрим методы построения графиков таких функций. А пока воспользовавшись, к примеру, методом определения вершины параболы, получим такой график

Как видим, у функции из-за того, что ветки параболы направлены вниз, есть максимальное значение - восьмерка, а все остальные значения меньше. Таким образом, область значений этой функции . Для того чтобы получить этот ответ не обязательно рисовать график, достаточно просто уметь находить координату вершины параболы по оси ординат и помнить, что при положительном старшем коэффициенте функции, ее ветки направлены вверх, а при отрицательном вниз.

Таким образом, можно сформулировать алгоритм поиска области значений квадратичной функции: находим игрековую координату ее вершины и учитываем направление веток параболы по знаку старшего коэффициента, т.е. множителя при .

4. Показательная функция всегда принимает положительные значения. Например, , для нее .

5. Такие тригонометрические функции как синус и косинус имеют двухсторонние ограничения по области значений. Вспомним, что их значения ограничены промежутком .

При решении задач на определение области значений функции необходимо уметь использовать указанные ограничения на основные простейшие функции и преобразовывать их.

Мы привели не все известные нам ограниченные области значений простейших функций, вспомните, например, аркфункции. Для того чтобы не забыть такие ограничения, повторите все основные виды функций.

Нам известно множество функций, которые не имеют ограничения на область значений. Например, для линейных функций, которые не являются константами, областью значений является множество всех действительных чисел . Для примера вспомним, что к таким же функциям относится и тангенс с котангенсом.

Специфическим случаем является константная функция, для которой множеством значений является только одно число, хотя область определения не ограничена. Например, для функции : , а , т.е. функция всегда имеет одно и то же значение , что и указано в ее аналитической записи.

2) Для табличного способа задания функции нахождение области значений так же элементарно, как и области определения. Для этого просто достаточно перечислить все указанные в таблице значения функции. Выпишем область значений из таблицы, которую мы приводили для примера к области определения

	-2		4,5
	7		1

.

3) В случае графического способа задания функции область значений видна по графику, как и область определения. В данном случае необходимо указывать множество всех значений координат точек графика по оси ординат, т.е. всех игреков.

Приведем опять пример графика, по которому мы определяли область определения функции

Для него область значений .

 

 

Асимптоты функции, точки пересечения с осями

К области определения и значения функций имеют отношение такие вспомогательные элементы графика функций как асимптоты.

Асимптота графика функции – это прямая, расстояние от которой до графика функции при удалении на бесконечность стремится к нулю.

Хорошей наглядной демонстрацией асимптот является график стандартной дробно-рациональной функции , который называют гиперболой

 

Этот график демонстрирует два наиболее часто встречающихся типа асимптот: вертикальную и горизонтальную. На графике вертикальной асимптотой является ось , ее уравнение  – к ней график прижимается по вертикали, а горизонтальной – ось , ее уравнение  – к ней график прижимается по горизонтали.

Умение находить асимптоты полезно для построения графиков дробно-рациональных и других функций.

Как видим, асимптота является прямой линией, и для того, что бы ее найти, необходимо определить ее уравнение, т.е. соответствующую ей функцию.

Вертикальная асимптота образуется в той точке, где значение функции стремится к бесконечности. Это происходит при аргументах, при которых в функции возникает деление на ноль.

Уравнение вертикальной асимптоты удобно записать так:

 аргументы, при которых в функции происходит деление на ноль.

Горизонтальная асимптота является значением, к которому функция стремится на бесконечности. Для ее определения в общем случае необходимо вводить понятие предела, но зачастую в несложных функциях достаточно просто логически посмотреть, к каким значениям функция приближается при увеличении аргумента до  и при уменьшении до . В указанном примере с гиперболой несложно определить и без графика, что при увеличении икса до  значение дроби  стремится к нулю, то же само происходит и при уменьшении икса до .

Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты можно описать так:

 значения, к которым функция приближается на .

Существует еще и наклонная асимптота, но она встречается редко и рассматривается обыкновенно в теме «исследование функций и построение графиков с помощью производной».

Для удобства построения графиков функций ее рассматривают такую их характеристику как точки пересечения с осями.

Точки пересечения с осями графика функции – это значения аргумента и функции, при которых одно из них равно нулю. Нулю могут равняться одновременно и аргумент с функцией, если график проходит через начало координат.

Для нахождения точек пересечения графика с осью  необходимо подставить в функцию нулевое значение аргумента, т.е. .

Для нахождения точек пересечения графика с осью  необходимо решить уравнение  . В данном случае удобнее употреблять именно обозначение функции , а не , чтобы подчеркнуть, что к нулю необходимо приравнять именно формулу, которая задает функцию, а не просто игрек.

Например, для линейной функции  точка пересечения с осью  имеет координаты  и , точка пересечения с осью  координаты  и , что можно увидеть на графике

 

 

Чётность и нечётность, периодичность

К важнейшим свойствам функций относится четность/нечетность.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетных функций являются  и др.

Например, график  действительно обладает симметричностью относительно начала координат:

Функция называется четной, если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси .

Примерами четных функций являются  и др.

К примеру, покажем симметричность графика  относительно оси :

Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида. У таких функций нет симметрии.

Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция  с графиком:

Особым свойством функций является периодичность. Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы.

Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.

Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой .

Формульная запись этого выглядит следующим образом: .

Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:

 

Вспомним, что периодом функций  и  является , а периодом  и  – .

Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

 

 

Промежутки монотонности функции

Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов.

Выделяют следующие виды монотонности функций:

1) функция  возрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

2) функция  убывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

3) функция  неубывает, если на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что ;

4) функция  невозрастает, если на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что .

Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».

Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.

Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе.

 

 

Обратные функции

Еще одним специфическим свойством функции является ее обратимость, т.е. наличие у нее обратной функции.

Обратная функция – это функция, которая обращает выбранную зависимость. Т.е. если функция  каждому  ставит в соответствие , то функция , которая каждому   ставит в соответствие определенное , называется обратной к функции .

Умение искать обратные функции является крайне полезным во многих практических вопросах, например из умения находить площадь квадратной комнаты следует желание уметь вычислять длину ее стороны, зная площадь. Таким образом, для функции  при  вводится обратная функция .

Но не для всех функций существуют обратные. Более подробно смотрите об этом в «понятийном уроке» к нашей теме.

 

На этом уроке мы рассмотрели такое понятие как «функция» и все основные способы задания функций, их характеристики и свойства.

В практической части урока мы разберем примеры на определение свойств функций и займемся чтением их графиков.

 

Полезные ссылки:

 

1.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/nahozhdenie-oblasti-opredeleniya-i-oblasti-znacheniy-chislovoy-funktsii

2.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/zadachi-na-nahozhdenie-oblasti-opredeleniya-i-oblasti-znacheniy-funktsii-v-bolee-slozhnyh-sluchayah

3.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/analiticheskiy-sposob

4.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/graficheskiy-i-tablichnyy-sposoby

5.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/osnovnye-svoystva-chislovyh-funktsiy

6.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/opredeleniya-i-svoystva-chetnyh-i-nechetnyh-funktsiy

7.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/issledovanie-funktsiy-na-chetnost