Тема: Интеграл
Урок: Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем
1. Введение
Вспомним дифференцирование степенной функции с натуральным показателем.
Пример 1 – найти производную функции:
Пример 2 – найти производную функции в точке:
2. Дифференцирование степенной функции с натуральным основанием, теория, примеры
Вспомним дифференцирование сложной степенной функции с натуральным показателем.
Пример 3 – найти производную функции:
Комментарий: при решении примера была применена формула производной линейной функции 
Пример 4 – найти производную функции в точке:
Рассмотрим степенную функцию вида 
, то есть степенную функцию с отрицательным натуральным показателем. Докажем, что ее производная аналогична функции с положительным показателем степени.
Дано: 
Найти: 
Напомним, что производная частного определяется по формуле:
В данном случае:
Получили:
Что и требовалось доказать.
Таким образом, можно сделать вывод:
3. Производная степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры
Теперь рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем.
Производная данной функции аналогична уже рассмотренным производным для натурального и целого показателей. Следующую теорему принимаем без доказательства.
Теорема:
Если 
и r – любое рациональное число, то производная функции вида 
вычисляется по формуле:
Пример 5 – найти производную функции:
Пример 6 – найти производную функции в точке:
4. Некоторые факты о первообразной
Перейдем к интегрированию степенной функции с рациональным показателем, для этого сделаем некоторые напоминания.
1. Если 
, то F(x) – первообразная для f(x);
2. Функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных. Все их семейство можно выразить следующим образом: 
3. Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется ее неопределенным интегралом: 
Определенный интеграл можно найти по формуле: 
5. Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры
Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.
Доказать:
Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.
Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.
Что и требовалось доказать.
Усложним степенную функцию.
Доказать:
Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:
Что и требовалось доказать.
Пример 7 – найти неопределенный интеграл:
Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:
Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.
Пример 8 – вычислить определенный интеграл:
Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Математический анализ (Источник).
2. Математический анализ (Источник).
3. Старая школа (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 208-211;
2. Определить производную функции в точке:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
3. Вычислить определенный интеграл:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
