Правила отыскания первообразных

1. Определение первообразной функции

Определение. Функцию называют первообразной для функции  на заданном промежутке , если для всех  из  выполняется равенство .

2. Методика нахождения первообразной на примерах

Несколько разъясняющих примеров:

 – первообразная для

Чтобы это подтвердить, возьмем производную

 первообразная для

Итак, мы привели 2 примера, которые подтверждают определение и используют его.

Напомним две задачи:

Прямая задача: Дана функция . Найти . Процесс называется дифференцированием.

Обратная задача: Дана функция  – производная неизвестной функции Найти Процесс называется интегрированием.

Какие основные инструменты для нахождения первообразных?

3. Таблица первообразных

Нахождение

- таблице первообразных, которую мы повторим;

- правилам отыскания первообразных, которые мы изучим.

Таблица

Функция	Первообразная
0	1
1

Проверим:

Таким образом проверяются все строчки таблицы. То есть, выполняется соотношение: .

4. Правила отыскания первообразных с подтверждающими примерами

Переходим к правилам отыскания первообразных.

Правило 1.

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Дано:

Доказать:

Доказательство: что и требовалось доказать.

5. Пример 1

Функция состоит из двух функций. Найти первообразную функции:

Пример подтверждает правило 1.

Правило 2. (о постоянном множителе)

Дано:, то есть  – первообразная для f, k – const.

Доказать: kF – первообразная для kf.

Доказательство:

Доказательство основывается на определении первообразной и на правиле дифференцирования: . Что и требовалось доказать.

Смысл правила: если мы знаем первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf, нужно первообразную F умножить на k.

Подтверждающий пример:

Правило 3. Если  – первообразная для функции, то  первообразная для .

Дано:.

Доказать:

, что и требовалось доказать.

6. Пример 2

Если  ,то

Проверка: ( ..

Необходимые пояснения: вместо мы имеем скобку (). Как это отражается на нахождении первообразной? Следующим образом: первообразная от но надо разделить на коэффициент при х.

Пример 1.

Найти одну из первообразных для функции

a)     

Решение:

a)

Ответ:

Проверка:..

Пример 2.

Найти одну из первообразных для функции

б)

Решение:

б)

Ответ:

Проверка: =

.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ucheba-legko.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).
3. Matica.org.ua (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти одну из первообразных для функции
2. Найти одну из первообразных для функции 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 991, 992, 994, 995.