1. Логарифм, определение, основные факты
Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции 
, где 
(основание степени а больше нуля и не равно единице).
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Примеры:
Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:
Напомним важные особенности и свойства показательной функции.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: 
:
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы 
:
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.
В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение 
функция достигает при единственном значении аргумента 
, корнем уравнения 
и есть логарифм:
По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.
Вывод:
Для монотонной прямой функции существует обратная функция 
. Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:
Получаем:
Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:
Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.
2. Свойства показательной функции
Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции 
.
Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
3. Логарифмическая функция как обратная к показательной
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 3. Графики функций и 
4. Примеры нахождения обратной функции
Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.
Решим задачу при 
Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 4. Графики функций 
и 
Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.
У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .
Рис. 5. Графики функций (слева) и (справа)
5. Связь прямой и обратной функции
Свойства прямой (показательной) функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция возрастает;
Выпукла вниз.
Свойства обратной (логарифмической) функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция возрастает;
Выпукла вверх.
Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.
Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.
Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;
2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
