Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, большим единицы.
:
х – аргумент, независимая переменная; у – функция, зависимая переменная.
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
График функции – экспонента (рис. 1).
Основные свойства данного семейства функций:
1. Область определения: 
.
2. Область значений: 
.
3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени 
больше единицы.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства.
Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля (рис. 2).
:
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы.
Свойства данного семейства функций:
1. Область определения: .
2. Область значений: .
3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени меньше единицы, но больше нуля.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.
Решение конкретных примеров
Закрепим приведенную методику решением конкретных неравенств.
Пример 1:
а)
б) 
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.б
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (4; 81). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
, это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 2:
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (5; 
). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
, это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 3:
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3
График функции 
и прямая 
пересекаются в точке с координатами (-1;3). То есть 
при 
. По условию нам нужно определить, когда 
. Это выполняется тогда и только тогда, когда 
.
Пример 4:
Итак, мы рассмотрели решение простейших показательных неравенств, на следующем уроке мы перейдем к решению показательных уравнений.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
- Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 466,467.
- Решить неравенства:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
. - Решить неравенства:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
