1. Свойства показательной функции, простейшие примеры
Показательно-степенные неравенства – это такие показательные неравенства, в которых основание является переменной величиной.
Начнем с небольшого повторения. Мы изучили свойства показательной функции и отметили, что показательная функция монотонна, причем может как возрастать, так и убывать.
Мы научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства. Их решение основано на монотонности показательной функции:
Заметим, что в данном случае основание степени а – это конкретное число, не зависящее от х.
Рассмотрим примеры для степеней с постоянным основанием.
Пример 1 – решить уравнение:
Согласно методике решения простейших показательных уравнений, необходимо уравнять основания степеней, после этого приравнять показатели:
Пример 2 – решить неравенство:
Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, большем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, оставив знак неравенства без изменений:
Пример 3 – решить неравенство:
Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, меньшем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, изменив знак неравенства на противоположный:
2. Решение показательно-степенного неравенства первым способом, пример
Все остальные более сложные показательные уравнения и неравенства сводятся к простейшим и решаются на основании вышеописанных методик.
Теперь рассмотрим случаи, когда основание степени – переменная величина, то есть а зависит от х:
Нам предстоит решать неравенства вида:
Необходимо рассматривать два случая:
Обратим внимание, что нужно еще рассмотреть третий случай:
Пример 4 – решить неравенство:
Функция, стоящая в левой части, называется показательно-степенной функцией, данная функция определена тогда, когда основание больше нуля.
Уравняем основания степеней:
Рассматриваем два случая:
Ответ: 
3. Второй способ решения показательно-степенных неравенств
Рассмотрим другой способ решения показательно-степенного неравенства:
Имеем систему:
Распишем ее:
Напомним важный опорный факт:
На основании опорного факта можно переписать систему так:
При решении показательно-степенных неравенств первым способом необходимо решать две системы и объединять решения. При решении вторым способом нужно решить только одну систему, причем неравенство уже разложено на множители, т. е. удобно применить метод интервалов.
4. Решение примеров
Пример 5 – решить неравенство:
Уравняем основания степеней:
Пользуемся вторым способом:
Покажем решение первого неравенства методом интервалов:
Рис. 1. Решение неравенства
Добавим к решению второе неравенство:
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 5
Очевиден ответ: 
Пример 6:
Приведем к одинаковому основанию:
Решим первым способом:
Ответ: 
Решим заданное неравенство вторым способом:
Проиллюстрируем решение:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 6
Ответ: 
Очевидно, что второй способ более легкий в применении. Решим с его помощью следующее неравенство.
Пример 7:
Приведем к одинаковому основанию:
Составим систему:
Несложно заметить в первом неравенстве формулу разности квадратов, распишем:
При 
первые две скобки первого неравенства положительны, имеем право их отбросить, получаем:
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели решение показательно-степенных неравенств. Далее перейдем к изучению логарифмов.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интерне
- Mathematics-repetition.com (Источник).
- Matematika-10.blogspot.com (Источник).
- Matematika.uznateshe.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Решить неравенства:
а) 
; б) 
;
в)
; г) 
;
2. Решить неравенства:
