1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений
Решение более сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к более простым, или, как говорят, простейшим показательным неравенствам. Простейшие показательные неравенства решаются, в свою очередь, на основе свойств показательной функции.
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция – это функция вида 
, где основание степени 
и 
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании, большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля соответственно.
Свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонна, при 
возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции, 
), при 
убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, 
); 
– любые числа.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При , наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.
2. Решение типовых неравенств
Методика решения подобных неравенств:
Уравнять основания степеней;
Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства.
Пример 1:
Преобразуем неравенство, пользуясь свойствами степени:
Введем замену. Пусть 
, тогда 
Получаем:
Умножим на два:
Переносим все в левую сторону:
Имеем систему:
Получим квадратное уравнение и найдем его корни:
Решим методом интервалов.
Рис. 2. Метод интервалов
Вернемся к исходным обозначениям:
Ответ: 
Пример 2:
Пользуясь свойствами степени, получаем:
Введем замену. Пусть 
, тогда 
. Получаем:
Для квадратного уравнения 
любым способом получаем корни, 
Решаем методом интервалов:
Рис. 3. Метод интервалов
Вернемся к исходным обозначениям:
Ответ: 
Рассмотрим новый вид неравенств.
3. Методика решения однородных показательных неравенств второй степени
Мы рассматривали случай, когда левая часть заданного выражения равна нулю, и изучили методику решения таких уравнений. Теперь нас интересуют неравенства. Укажем некоторое ограничение: 
.
Метод решения такого вида неравенств базируется на свойствах выражения, стоящего в левой его части. Данное выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.
Метод решения таков: нужно рассмотреть два случая:
, подставить данное выражение в исходное неравенство, получаем 
, 
и решаем полученное простое неравенство.
, имеем право все неравенство разделить на положительное выражение 
. Получим 
. Далее вводим замену переменных 
и переходим к квадратному неравенству.
Пример 3:
Перенесем все члены в левую сторону:
В данном случае несложно выделить функции f и g.
Согласно свойствам степени имеем:
Поскольку показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, имеем право сразу выполнить деление:
Получаем:
Вводим замену:
Имеем квадратное неравенство:
Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения 
, решение неравенства находится в интервале между корней. Имеем систему:
Покажем решение на рисунке 7.4:
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3
Итак, получили интервал значений у: 
. Вернемся к исходным переменным:
(т. к. показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения)
(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)
Ответ: 
4. Решение типовых неравенств
Пример 4:
Преобразуем согласно свойствам степени:
В данном случае несложно выделить функции f и g.
Аналогично предыдущему примеру, выполним деление:
Вводим замену:
Имеем квадратное неравенство:
Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения 
, решение неравенства находится в интервале вне корней. Имеем систему:
Покажем решение на рисунке 7.5:
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 4
Итак, получили интервал значений у: 
. Вернемся к исходным переменным:
(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)
Ответ: 
Пример 5:
Перенесем все в левую часть:
Преобразуем согласно свойствам степени:
Вынесем за скобки 
:
Упростим выражение в скобках – приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
Имеем право домножить все неравенство на 6, т. к. это положительное число:
Кроме того, имеем право сократить неравенство на , т. к. показательная функция принимает всегда строго положительные значения, но важно при этом не забыть про ОДЗ, т. к. 
существует только при неотрицательных х. Таким образом, имеем систему:
Очевидно, что при 
знаменатель дроби положителен, отсюда имеем, что для выполнения второго неравенства необходимо 
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств более сложного уровня. Далее мы подведем итоги изучения показательной функции.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 474, 475;
2. Решить неравенство:
3. Решить неравенство:
