Пример 4 – решить систему неравенств с параметром:

Система выглядит довольно сложно, упростим ее. Для этого избавимся от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, имеем право отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т.к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем защитить подлогарифмические выражения (учет ОДЗ).

Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, при этом опять же не забываем учесть ОДЗ. Имеем:

Таким образом, имеем систему четырех неравенств:

Приведем подобные члены:

Строим график полученной эквивалентной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая входит, т.к. неравенство не строгое. Иллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация решения системы неравенств

Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.

Пусть точка А – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:

Пусть точка В – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом подстановки:

Пусть точка С – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом подстановки:

Таким образом, вершины треугольника имеют координаты: (), (), (-2; 6).

Теперь осталось рассечь полученный график семейством прямых и выписать ответ.

Рис. 8. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при система имеет множество решений

Итак, мы рассмотрели решение задач с параметром графическим способом, привели различные примеры как простых, так и довольно сложных задач, вывели общую методику их решения.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина 2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Параметры (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Найти количество решений уравнения в зависимости от значения параметра а:

2. Найти количество решений уравнения в зависимости от значения параметра а:

3. Решить систему неравенств с параметром: