Введение
Решим такую задачу. (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Условие задачи
В задаче речь идет о трех объектах: о кролике, птице и кабане, и неизвестными величинами являются массы этих зверей.
Сумма трех кроликов – это три кролика. Можно продолжать с картинками, но это неудобно.
Заменим массу животных на переменные (см. Рис. 2):
Рис. 2. Условные обозначения
Перепишем все, что показано на картинке, с помощью переменных:
Решим полученную систему:
Тогда получаем, что масса трех животных:
Нам нигде не пришлось думать, решать задачу. Главное, что нужно было сделать – аккуратно переписать условие задачи с помощью введенных обозначений. Таким образом, мы построили математическую модель – записали условие задачи на математическом языке и решили ее абсолютно автоматически.
Алгоритм решения задач
Все задачи, которые будут встречаться в дальнейшем, решаются по одному алгоритму. Итак, рассмотрим этот алгоритм. В нем выделим 4 пункта.
1. Что происходит?
Читаем внимательно задачу и представляем, что происходит. Перечисляем всех участников и их характеристики (величины), которые можно измерить.
2. Моделирование
Вводим обозначения для всех этих величин. Переписываем все, что сказано в условии задачи, с помощью этих обозначений. Получаем набор алгебраических условий, уравнений, который мы называем моделью.
3. Решение
Решаем полученные уравнения. Получаем ответ в рамках модели.
4. Ответ
Возвращаемся от модели к задаче. Даем ответ на вопрос задачи.
Задачи
Пример 1.
Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми – 
км, и встретились через 
ч. С какой скоростью шел каждый турист, если первый прошел на 
км больше, чем второй?
Решение
1 этап. Что происходит?
Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошел какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Еще есть общее расстояние между городами. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
2 этап. Модель
Итак, для каждого участника есть три величины и еще общее расстояние:
Итак, 7 величин, 7 обозначений. (См. Рис. 4.) Пока нас не интересовало, какие из них уже известны, а какие нет.
Рис. 4. Условные обозначения
А как же быть с 
и 
? Будем ли мы вводить эти обозначения? Для задач на движение есть уже свои всем понятные обозначения: 
– расстояние, 
– скорость, 
– время. И заменять их на 
и 
нет никакого смысла. А вообще это совершенно неважно. Делайте такие обозначения, чтобы вам было удобно и понятно.
Теперь нам нужно переписать условие задачи, используя введенные обозначения.
– вышли одновременно и встретились через ч.
– расстояние между городами км.
– вышли из двух городов и встретились.
– первый прошел на км больше, чем второй.
Найти нужно скорости каждого туриста.
, 
– ?
Кроме того, что сказано в задаче, мы владеем еще кое-какой важной информацией. А именно, как связаны все эти величины друг с другом. Запишем эти соотношения для каждого туриста:
Итак, мы получили математическую модель – ввели обозначения и с помощью них переписали условие задачи. То есть мы уже выполнили 
всей работы.
3 этап. Решение
Наша модель содержит уже всю информацию. Никакой новой информации не будет, и никакая не пропадет. Мы просто займемся переписыванием ее в эквивалентном, но более удобном виде.
Итак, надо найти , .
Для начала уменьшим количество записей в модели. Для этого подставим все известные величины.
Нам известны 
, 
и . Получаем:
Нижние два уравнения содержат величины, которые мы ищем. Но здесь неизвестных, и если эти два уравнения взять в качестве системы, то у неё будет бесконечно много решений.
Верхние два уравнения содержат только две неизвестные. Правда, там нет нам нужных, но если решить систему этих двух уравнений, мы найдем 
, 
, а затем уже и , из нижних двух.
То есть в качестве системы берем два верхних уравнения.
Решим систему методом сложения. Сложим почленно оба уравнения – получим первое уравнение новой системы, вычтем из первого второе – получим второе уравнение новой системы:
Нашли 
. Теперь подставим их в два оставшихся уравнения.
Итак, смоделированную задачу мы решили, остался последний этап.
4 этап. Ответ
Возвращаемся к исходной задаче. Заменяем наши обозначения на названия величин.
Ответ: скорость первого пешехода – 
, скорость второго пешехода – 
.
Пример 2.
На двух полках 
книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в раза больше, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?
Решение
1 этап. Что происходит?
На двух полках стоят книги. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Размещение книг до перестановки
С одной полки переносят часть книг на другую. (См. Рис. 6.)
Рис. 6. Размещение книг после перестановки
2 этап. Модель
Первый момент, до перестановки. Обозначим через и количество книг на первой и второй полках. (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Количества книг на полках до перестановки
Второй момент, после перестановки. Теперь на полках другое количество книг. Обозначим новые количества через 
и . (См. Рис. 8.)
Рис. 8. Количества книг на полках после перестановки
Запишем все условия в этих обозначениях.
– на двух полках книг.
– со второй полки переставили половину книг на первую.
– со второй полки переставили половину книг на первую.
– на первой полке в раза больше книг, чем на второй.
Можно еще написать, что после перестановки общее количество книг не изменилось:
Необходимо найти: , – ?
Мы построили модель. Пока мы будем решать эту уже математическую задачу, не станем вспоминать про книги и полки.
3 этап. Решение
Итак, мы хотим получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Лучше, чтобы это были и , так как именно их нам нужно найти.
Первое уравнение нам для этого подходит. А все остальные содержат еще или или . Но можно заметить, что если в уравнение подставить выражения для и , то мы получим второе уравнение для и .
Составим и решим систему:
Из верхнего уравнения вычтем нижнее:
Мы получили ответ для модели, теперь возвращаемся к задаче.
4 этап. Ответ
На первой полке было 
книги, на второй – 
.
В самом деле, если половину книг со второй полки переставить на первую, то на второй останется 
, а на первой станет 
, то есть в раза больше.
На самом деле, совершенно не обязательно при составлении модели должно получаться два уравнения с двумя неизвестными. Их может быть и 
, и 
.
Системы уравнений с большим количеством переменных.
На самом деле, переменных столько, сколько мы ввели обозначений. Если обозначений 
, то и уравнений должно быть . Такой подход отличается от предыдущих только своей большей формальностью.
Посмотрим на первую задачу с этой точки зрения.
Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми – км, и встретились через ч. С какой скоростью шел каждый турист, если первый прошел на км больше, чем второй?
1 этап. Что происходит?
Мы это уже все обсудили. Ничего нового.
Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошел какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Еще есть общее расстояние между городами. (См. Рис. 9.)
Рис. 9. О чем задача
2 этап. Модель
Мы ввели обозначений: , , , , , , . Можно сказать, что это переменных. Нам необходимо для решения уравнений.
Вспомним, какие у нас были выписаны условия.
Посчитаем, сколько у нас уравнений. Вроде бы 
, последняя запись – вообще не уравнение.
На самом деле, верхняя строчка – это два уравнения, их можно расписать по отдельности, и получим систему из линейных уравнений с неизвестными.
3 этап. Решение
Решается она точно такими же методами, как система с двумя уравнениями, – подстановка и сложение.
Верхние три уравнения уже имеют очень хороший вид, их трогать не будем, но подставим их в остальные.
Внутри большой системы можно увидеть систему поменьше.
Если сложить и строки, то пропадет . Тогда легко увидеть, что 
. Это условие можно записать вместо любого из двух, откуда мы это и получили.
Нужно следить, чтобы уравнений оставалось .
Теперь легко найти .
Остались два нижних уравнения. Подставим туда значения и .
Находим оставшиеся неизвестные.
4 этап. Ответ
Конечно, ответ не зависит от выбранного способа решения: скорость первого пешехода – , скорость второго пешехода – .
Какие преимущества и недостатки у этого подхода по сравнению с первым?
Преимущества: этот метод более автоматизирован, он ближе к идеальному алгоритму. Нужно только ввести обозначения и написать соответствующее количество уравнений.
Недостатки: может оказаться, что проделано много лишней работы. Ведь обычно нам нужны не все переменные, а этот метод предлагает найти все.
Пример 3.
За 
часа по течению и часа против течения теплоход проходит 
км. За 
ч по течению и 
мин против течения теплоход проходит 
км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
Решение
1 этап. Что происходит?
Итак, у нас два независимых события: теплоход первый раз плывет по течению и против него одно и то же расстояние, и второй раз, тоже по течению и против него, но уже другое расстояние.
2 этап. Модель
Введем обозначения.
У нас 4 промежутка времени , , 
, 
Два расстояния, две скорости – реки и теплохода , , 
, 
Перепишем все условия в наших обозначениях. Нам известны все 4 промежутка времени. Запишем их.
Теперь первый заплыв:
Он проплыл 380 км, причем эти 380 км состоят из двух частей. Первая часть та, что он проплыл по течению, очевидно, со скоростью 
. Мы можем записывать время, которое он плыл по течению, как , но так как мы знаем его, то можно писать уже само значение, часа. И второе слагаемое – расстояние, пройденное против течения.
Теперь то же самое мы можем записать для второго заплыва.
Необходимо найти: , 
– ?
Модель составлена.
3 этап. Решение
Итак, два длинных уравнения в нашей модели дают нам систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Решим ее. Раскроем скобки:
Приведем подобные:
Умножим обе части нижнего уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
Сложим почленно уравнения, пропадет переменная :
Найдем :
Подставим во второе уравнение.
Система решена.
4 этап. Ответ
Мы получили ответ для модели, возвращаемся к задаче.
Скорость теплохода – 
.
Скорость течения реки – .
Заключение
Итак, как устроен наш единый алгоритм для решения задач.
1. Что происходит?
Внимательно читаем задачу и представляем, что происходит. Обязательно нужно представить все до конца и всех участников событий.
2. Моделирование
Вводим обозначения для всех величин, которые есть в задаче. Аккуратно переписываем условия задачи с введенными обозначениями. Это главный навык, который мы должны натренировать.
3. Решение
Решаем уравнения в нашей модели.
4. Ответ
Возвращаемся к задаче, формулируем ответ.
Еще одна рекомендация. Она относится не только к решению такого рода задач, а вообще к занятию математикой.
Даже если вы не пишете контрольную работу, а просто решаете задачу для себя, обязательно оформляйте все аккуратно, пишите разборчиво. Очень часто не удается решить задачу из-за того, что оформление было сделано небрежно и вам самим не понятно, что у вас написано. Аккуратность в оформлении математической записи нужна не вашему учителю, а вам самим.
Список литературы
1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.
2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.
3. Э.Г. Гельфман и др..Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
3. Интернет-сайт nado5.ru (Источник)
Домашнее задание
1. В отделе работают программисты и дизайнеры. Вчера на работу не пришли программиста и дизайнер. При этом оказалось, что программистов на человека меньше, чем дизайнеров. Сегодня не пришел программист и дизайнеров. При этом оказалось, что программистов в раза больше, чем дизайнеров. Сколько всего сотрудников числится в отделе?
2. В выходной день Саша пошёл в Парк культуры покататься на аттракционах и полакомиться мороженым. В кармане у него было 
рублей. Сначала Саша хотел поучаствовать в трёх аттракционах и съесть три порции мороженого. В этом случае у него бы ещё осталось рублей на попкорн. Но Саша так увлекся, что вместо трёх принял участие в четырёх аттракционах, и денег хватило как раз только на одно мороженое. Сколько стоит одна порция мороженого и билет на один аттракцион в парке?
3. Первый автомобиль преодолевает путь между двумя городами за ч, а второй – за 
ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если за 
часа первый из них проезжает на км больше, чем второй.
