01. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
14 мин
02. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
03. Разложение многочленов на множители. Способ группировки
04. Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях
05. Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения
06. Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
07. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
08. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях
09. Тождества
10. Многочлены. Обзор
01. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
Видео доступно по абонементу
На предыдущих уроках мы раскладывали на множители числовые выражения. На этом уроке мы узнаем о разложении на множители буквенных алгебраических выражений, для этого вспомним распределительный закон. И с помощью различных примеров рассмотрим, где разложение на множители алгебраических выражений может быть применено.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».
Нам известно распределительное свойство умножения, которое называется распределительным\nзаконом. Выглядит этот закон следующим образом:
То есть существует сумма, которая преобразуется в произведение — это называется разложение на множители.
Распределительный закон справедлив и для вычитания, и для нескольких чисел:
Задание 1
Вычислите значение выраженияпри
РешениеДля вычисления значения данного выражения можно подставить известные нам числа и умножить на , затем умножитьна, далее полученные в результате умножения числа сложить:
Однако для упрощения вычисления значения данного выражения применим распределительный закон:
Таким образом, необходимо выполнить всего два действия — сложение и умножение:
Ответ:
С помощью разложения на множители можно доказывать, что некоторое буквенное выражение делится на число.
Задание 2
Докажите, чтоделится на
ДоказательствоДля доказательства необходимо разложить данное выражение на множители, при этом один из множителей в полученном выражении должен быть равен .
По свойству степеней:
Таким образом, данное в условие выражение можно представить в виде:
Вынесем общий множитель за скобку:
Данное выражение делится на так как один из его сомножителей равен Что и требовалось доказать.
Алгебраические\nдроби — дроби, у которых числитель и знаменатель могут быть алгебраическими выражениями (содержать в себе переменные).
Для сокращения таких дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, сократив после этого общий множитель.
Задание 3
Сократите дробь:
РешениеДля выражений в числителе есть общий множитель который можно вынести за скобку. Также можно вынести за скобку и в знаменателе:
Следовательно, можно сократить данную дробь на :
Ответ:
С помощью разложения на множители можно решать весьма непростые уравнения, например уравнения в целых или натуральных числах.
Задание 4
Найти все пары целых и , таких, что , где
РешениеВынесем общий множитель в левой части уравнения за скобку:
Следовательно, в левой части данного уравнения находится произведение целых чисел, а в правой части единица.
Какие целые числа в произведении могут даватьЛибоналибонаПолучаем два случая:
а)
б)
Ответ: , .
Задание 5
Решите уравнение: где (и – натуральные числа).
РешениеВынесемиз первых двух слагаемых выражения в левой части уравнения:
Прибавим к обеим частям данного выражения число 2:
возьмём в скобки и умножим на 1:
Видно, что является общим множителем для левой части уравнения. Вынесем этот общий множитель за скобку.
Какие натуральные числа в произведении дают и либо и Первый вариант не подходит, так какинатуральные и каждая скобка будет большеСледовательно, если выражение , то , или наоборот, если , то .
Разберём два возможных случая:
а)
б)
Ответ:
На этом уроке мы познакомились с понятием разложения на множители алгебраических выражений. С помощью различных примеров мы узнали, где разложение на множители может быть применено.
Полезные ссылки
Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; под ред. С. А. Теляковского. — 15-е изд., перераб. — Москва: Просвещение, 2022–2027
Мордкович А. Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А. Г., Н. П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. — Москва: Мнемозина, 2009.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. — Москва: Просвещение. 2010.
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. — Москва: Просвещение. 2006.
Проверь себя
Задания (стр. ) — Мордкович А. Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы).
Разложить многочлен на множители
Решите уравнение