Основные определения, приведение одночлена к стандартному виду, напоминание теоретических фактов об одночленах и степенях; формулировка основных определений
Начнем с определения: многочлен – это алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней. То есть одночлен является частным случаем многочлена. Все действия с одночленами, а значит и с многочленами, упираются в действия со степенями.
Рассмотрим пример: 
. Нам задан одночлен – произведение чисел и степеней, и чтобы выполнять с ним какие-то действия, вспомним действия со степенями:
- определение степени с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени; n штук
;
;
Вернемся к примеру. Вспомним, что каждый одночлен первым делом нужно привести к стандартному виду, а именно перемножить сначала все коэффициенты, а после этого соответствующие степени, причем согласно выше записанному закону, показатели степеней складываются.
;
У данного одночлена 
- коэффициент одночлена, а 
Решение примера на приведение подобных членов многочлена
Существуют подобные одночлены – это такие, у которых одинаковая буквенная часть.
Рассмотрим операцию приведения подобных членов в многочлене:
Первым действием нужно привести все одночлены, входящие в состав данного многочлена, к стандартному виду, а если уже есть многочлены в стандартном виде и мы видим, что они подобны, сразу выполнить над ними заданные действия. Данная операция называется приведением многочлена к стандартному виду. Получим:
;
Дальше этот многочлен упростить невозможно.
Перечисление и описание действий над многочленами
Какие действия можно выполнять над многочленами в стандартном виде? Их можно складывать и вычитать, так как при этом мы все равно получаем новый многочлен. Многочлены можно умножать и возводить в степень, только некоторые многочлены можно делить.
Напоминание формул сокращенного умножения
Для упрощения операции умножения многочленов существуют формулы сокращенного умножения. Вспомним некоторые:
- квадрат суммы (разности), a и b могут быть любыми выражениями;
- разность квадратов;
- разность кубов;
- сумма кубов;
Методы разложения многочленов на множители
Вспомним разложение многочленов на множители.
Метод 1: вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим пример:
Комментарий: находим общий множитель у всех одночленов, а в буквенной части выносим переменную в наименьшей степени; чтобы найти, что останется в скобках, нужно все одночлены поделить на выносимый множитель и результат записать с учетом знаков в скобку.
Данный метод можно использовать только в том случае, если абсолютно у всех одночленов, входящих в состав данного многочлена, есть общий множитель.
Метод 2: метод группировки. Применяется, когда у одной группы одночленов один общий множитель, у второй группы - другой:
Комментарий: в данном случае сгруппированы первый одночлен со вторым, третий с четвертым, после вынесения общих множителей у них мы видим в скобках одинаковое выражение, а значит можно теперь применить к полученному выражению первый метод и еще его упростить.
Метод 3 – использование формул сокращенного умножения:
Комментарий: мы может заметить, что оба одночлена – это кубы некоторых выражений, а именно 
и 
. Исходя из этого, несложно догадаться, что перед нами разность кубов и, применяя формулу, разложим выражение на скобки.
Метод 4 – выделение полного квадрата:
Комментарий: в данном примере мы видим переменную х в квадрате и в первой степени, а значит, можем попробовать выделить полный квадрат. Для этого разберем подробно выражение: квадрат первого слагаемого – это 
, значит первое слагаемое 
. Далее стоит удвоенное произведение, выделим в нем двойку и первое слагаемое, получим 
. Причем, перед удвоенным произведением стоит знак минус, значит мы уже знаем, что выделяем квадрат разности. Далее необходимо получить квадрат второго слагаемого, а в нашем случае квадрат вычитаемого. А из удвоенного произведения мы выяснили, что вычитаемое – это число 
, то есть мы должны прибавить 
чтобы выделить полный квадрат. Но чтобы не нарушать исходное выражение, мы должны его тут же отнять. После выделения полного квадрата и приведения подобных несложно заметить разность квадратов, которую мы также расписываем по формуле.
Напомним, что после разложения многочлена на множители можно выполнить проверку, а именно перемножить между собой полученные скобки, и если результат совпадет с исходным выражением, значит разложение выполнено верно.
Решение примера на деление многочленов
Перейдем к делению. Если мы разделим один многочлен на другой, то получим алгебраическую дробь. Рассмотрим пример:
В операции деления один из самых важных моментов – это сокращение алгебраической дроби, а чтобы ее сократить, нужно многочлены в числителе и знаменателе разложить на множители любым из методов.
; 
;
Комментарий: в данном случае применим для разложения на множители формулы сокращенного умножения, причем в этом примере их очень легко увидеть, так как они записаны именно в том виде, в котором мы их выучили. Очевидно, что в числителе стоит квадрат суммы, а в знаменателе разность квадратов. После разложения имеем право сократить общий множитель. Обратим внимание, что при сокращении на какое-либо выражение следует указать, что оно не равно нулю. Удобно еще в исходной дроби указать ОДЗ, в нашем случае это 
.
Вывод: в данном уроке мы разобрали примеры на приведение многочлена к стандартному виду, разложение многочлена на множители и деление многочленов.
Список рекомендованной литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
Рекомендованное домашнее задание
Задание 1 – привести к стандартному виду:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4)
;
Задание 2 – разложить на множители:
1) 
; 2) 
; 3)
; 4)
;
Задание 3 – разделить:
1)
; 2)
; 3)
;
