Решение объемного примера на разложение на множители
Рассмотрим пример:
Пример 1 – разложить на множители:
;
У всех членов общего множителя нет, значит нужно применить способ группировки. Следует выбрать группы так, чтобы в каждой можно было вынести общий множитель и желательно, чтобы после этого появился общий множитель у всего выражения. Объединим члены по три: первая тройка и вторая:
;
Выносим общие множители в группах:
;
Напомним, что можно проверить, правильно ли множитель вынесен за скобку. Для этого нужно его на эту скобку умножить и проверить, соответствует ли произведение исходному многочлену или группе членов.
Появился общий множитель у всего выражения. Вынесем его:
;
Решение уравнений различной сложности
Способ группировки применяется при решении различных задач, в частности уравнений. Рассмотрим примеры:
Пример 2:
;
Поскольку в левой части уравнения стоит многочлен, то нужно разложить его на множители, чтобы решить уравнение. Общего множителя мы не видим, поэтому следует применить способ группировки. Объединим первый член с третьим и второй с четвертым:
;
Вынесем общие множители в группах:
;
Очевидно, что у всего выражения появился общий множитель. Вынесем его за скобки:
;
теперь можем перейти к решению уравнения:
;
Мы уже знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим и решим уравнения:
или 
;
Решим первое уравнение:
, 
– уравнение не имеет решений, так как квадрат любого числа это число неотрицательное, то есть большее либо равное нулю;
Решим второе уравнение:
, 
Ответ: данное уравнение имеет единственное решение .
Пример 3:
;
аналогично предыдущему примеру чтобы решить уравнение нужно разложить многочлен в левой части на множители. Но мы не можем сразу воспользоваться способом группировки, так как задан трехчлен и в нем нельзя выделить группы. Поэтому один из членов нужно представить как два. Для того, чтобы это выполнить, обратим внимание, что 
, а 
:
;
Теперь можем выделить группы:
;
Вынесем в группах общие множители:
;
Вынесем появившийся общий множитель:
;
Перейдем к решению уравнения:
;
Аналогично предыдущему примеру составим новые уравнения:
или 
Решим первое уравнение:
,
Решим второе уравнение:
, 
Ответ: или
Напомним, что корнем уравнения называется такое число 
, при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное равенство.
Пример 4:
;
;
или
, 
;
, 
;
Ответ: или ;
Комментарий: пример решается аналогично предыдущему.
Решение задач на геометрическое построение уравнений
Пример 5 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:
;
сначала заданное уравнение нужно решить, для этого воспользуемся методом группировки:
или 
, 
;
, ;
Построим координатную плоскость. Напомним, что координатная ось считается построенной, если выбрано начало координат, направление положительного возрастания и масштаб:
Рис. 1. Графики уравнений y = 1 и x = 2
Заданное уравнение соответствует двум таким уравнениям: и ;
Рассмотрим первое уравнение:
; про 
ничего не известно, значит, он принимает любые значения.
Аналогично второе уравнение, , принимает любые значения. Построим две прямые.
Объединение двух прямых и есть исходный график. Любая точка, лежащая на графике, является корнем уравнения.
Напомним, что график – это такое множество точек (х; у), координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Пример 6 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:
;
Поступаем, как и в предыдущем примере.
Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:
;
;
Составим и решим уравнения:
или 
, 
;
, 
;
Выполним построение:
Рис. 2. График функции y = -x
Уравнение это уравнение прямой, проходящей через точку на оси и параллельной оси 0Х.
Для построения уравнения составим таблицу:
|
х |
0 |
1 |
|
у |
0 |
-1 |
Для построения прямой достаточно двух точек, но для проверки можно взять третью точку и убедиться, что прямая через нее пройдет. Возьмем для этого точку 
, тогда . И прямая действительно проходит через эту точку.
Можем найти точку пересечения двух построенных прямых. Для этого из второго уравнения выразим :
, 
.
Нам известно, что в точке пересечения . Подставим это значение во второе уравнение и получим значение :
;
Прямые пересекаются в точке (-4: 4)
Отметим, что построенные нами прямые являются геометрическим местом точек, удовлетворяющих заданному уравнению.
Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы вспомнили один из методов разложения многочлена на множители – способ группировки, и с его помощью решили много сложных задач и уравнений. Кроме того, научились строить уравнение на координатной плоскости.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
1. Портал Естественных наук (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).
Рекомендованное домашнее задание:
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 485, ст.98
Задание 2 – решить уравнение: а)
; б) 
:
Задание 3 – построить уравнение на координатной плоскости: а) 
; б) 
