Рассмотрим примеры.

Пример 1:

;

Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни или

Пример 2:

;

Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ или .

Это означает, что в случае примера 1 только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство.

Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение , из которого явно видно, что и являются решениями данного уравнения.

Уравнение из примера 2 раскладывалось так: и отсюда тоже явно следует ответ.

Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.

Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:

Пример 3:

;

Подставив в выражение любые значения , мы получим верное числовое равенство.

Пример 4:

;

Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях

Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:

Пример 5:

;

Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных

В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.

Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:

;

какое бы значение не принимал, равенство будет справедливым.

Разделим обе стороны на

Данное выражение будет справедливо при любых , кроме , потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: , то есть .

Пример 6:

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех , кроме , так как в этом случае дробь не имеет смысла.