Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Тождества
1. Формулировка понятия тождества
Рассмотрим примеры.
Пример 1:
;
Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни 
или 
Пример 2:
;
Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ или 
.
Это означает, что в случае примера 1 только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство.
Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение 
, из которого явно видно, что и являются решениями данного уравнения.
Уравнение из примера 2 раскладывалось так: 
и отсюда тоже явно следует ответ.
Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.
Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:
Пример 3:
;
Подставив в выражение любые значения 
, мы получим верное числовое равенство.
Пример 4:
;
Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях 
Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:
Пример 5:
;
Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных
В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.
Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:
;
какое бы значение не принимал, равенство будет справедливым.
Разделим обе стороны на 
Данное выражение будет справедливо при любых , кроме 
, потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: 
, то есть 
.
Пример 6:
Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех , кроме 
, так как в этом случае дробь не имеет смысла.
2. Решение простых примеров
Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.
Рассмотрим задачи.
Пример 7 – доказать тождество:
;
Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что 
.
Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:
;
Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.
Но его можно доказать и другим способом:
;
Пример 8:
;
Преобразуем левую часть:
;
После преобразований получаем:
;
Тождество доказано.
Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.
Пример 9:
;
Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.
Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:
;
Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:
;
Получаем выражение:
;
Тождество доказано.
Пример 10 – доказать, что если 
, 
, 
, то выражения 
и 
тождественно равны при любых значениях :
Рассмотри два заданных выражения. В первом 
стоят с плюсом, а 
с минусом, во втором наоборот стоит с плюсом, а стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение 
:
, 
, 
, 
подставим значения A, B и С в заданное выражение:
;
Упростим выражение:
;
Приведем подобные члены:
;
;
Тождество доказано.
3. Решение примеров с определением допустимых значений переменных
Пример 11 – установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:
Начнем с определения допустимых значений :
, 
, 
и 
;
Получили, что все значения , кроме 
и 
являются допустимыми, так как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.
Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в нее многочлены и сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель оставим:
Получаем:
;
Данное выражение является тождеством при всех значениях , кроме и .
Пример 12 - установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:
Левая часть является алгебраической дробью, многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители:
Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые выражения, которые можно сократить, но обязательно при этом нужно указывать допустимые значения:
Получаем:
Выражение является тождеством для всех значений, кроме: 
4. Доказательство более сложных тождеств
Пример 13 – доказать тождество:
Пример 14 – доказать тождество:
Сначала упростим дробь:
Приведем подобные в левой части:
Свернем полный квадрат по формуле:
5. Выводы по уроку
Вывод: в данном уроке мы ознакомились с понятием тождества, дали его определение, научились определять допустимые значения переменных. Мы решили много примеров различной сложности и научились доказывать тождества, преобразуя только одну часть выражения или сразу обе.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
1. Школьный помощник (Источник).
2. Задачи и тесты по геометрии, алгебре, физике и математике (Источник).
Рекомендованное домашнее задание:
- Доказать тождество:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
- Доказать тождество:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
- Доказать тождество и указать допустимые значения переменных:
а) 
; б) 
