Введение
Вспомним, что если в арифметическом выражении одно или несколько чисел заменить буквенными переменными, то мы получим алгебраическое выражение.
Арифметическое выражение, алгебраическое выражение – это элементы математического языка. Они используются в математических моделях, и с ними связаны некоторые типовые задачи. Наиболее распространенные из них – это вычислительные задачи.
Вычислительные задачи
Суть вычислительной задачи: в буквенном выражении (в алгебраическом выражении) отдельным буквам или всем буквам дают определенные значения; в результате получаем арифметическое выражение, которое нужно вычислить.
Пример 1
Дано выражение:
;
;
Найти значение данного числового выражения.
Решение
Подставим вместо 
и 
их выражения соответственно.
Ответ: 1.
Пример 2
Дано выражение:
;
;
Вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях 
и 
.
Решение
Подставим значения и :
Ответ: 
.
Задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных
Следующая группа задач – это задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных. Ведь алгебраическое выражение может иметь в знаменателе разность, сумму и т. д.
И эта разность, сумма или что бы то ни было в знаменателе не должно быть равно нулю.
Пример 1
Найти множество значений буквенных переменных, при которых данное алгебраическое выражение имеет смысл (может быть вычислено).
Решение
Знаменатель этой дроби не должен быть равен нулю. Значит:
Значит, данная дробь существует, имеет смысл при всех значениях и при всех значениях , кроме 
.
Ответ:.
Пример 2
Имеем дробь:
При каких значениях дробь имеет смысл?
Решение
Знаменатель не должен быть равен нулю, значит:
Ответ:.
В следующем примере – две буквенные переменные.
Пример 3
При каких значениях буквенных переменных данное выражение имеет смысл?
Решение
Ответ:.
Задачи на недопустимые значения переменных
Формулировка следующей стандартной группы задач: укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.
Пример 1
Решение
Выражение не будет иметь смысла тогда, когда будет выполнено условие: 
(в знаменателе дроби будет стоять 0).
Если присвоить переменным значение 1, то:
При этих значениях дробь не имеет смысла.
Ответ:, 
.
Пример 2
Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.
Решение
Определим, при каком условии знаменатель дроби будет обращаться в 0.
Тогда если, например, 
, то знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла.
Ответ:, 
.
Пример 3
Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.
Решение
Аналогично 
При этих значениях выражение не имеет смысла.
Ответ:
, .
Перевод с русского языка на математический и наоборот
С числовыми и алгебраическими выражениями связаны две важные задачи, а именно: перевод с русского языка на математический и перевод с математического языка на русский.
Пример 1
Переведем.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Этот пример описывает «переместительный закон сложения», он справедлив для любых чисел и .
Пример 2
Произведение не изменится от перемены мест сомножителей.
Задача 1
Произнести на русском языке «основное свойство дроби» и перевести его на математический.
Решение
Есть дробь 
. Дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить и разделить на одно и то же число 
.
при , 
Задача 2
Произнести на русском языке «правило деления дробей» и перевести его на математический.
При делении двух дробей друг на друга нужно получить новую дробь, в числителе которой записать произведение числителя первой дроби и знаменателя второй, а в знаменателе новой дроби записать произведение знаменателя первой дроби и числителя второй. Еще говорят так: чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.
Задача 3
Дано выражение:
Перевести на русский язык.
Решение
Отношение разности кубов двух чисел и к их утроенной сумме.
Текстовые задачи
Рассмотрим простейшую типовую задачу
Задача 1
Задумали число к нему прибавили семь, сумму утроили, из результата вычли 47 и получили задуманное число. Найдите его.
Решение
Переводим на математический язык
1. Начнем с составления математической модели.
Пусть – это задуманное число.
– это и есть математическая модель.
2. Второй этап – работа с математической моделью. В данном случае это просто решение уравнения.
3. Третий этап – ответ на поставленный вопрос.
Было задумано число 13.
Ответ: 13.
А теперь шуточная задача, математический фокус.
Задача 2
Задумайте число. Никому не говорите, какое число вы задумали. Прибавьте к нему 10 и отнимите половину задуманного, к результату прибавьте 7, отнимите половину задуманного, далее отнимите 2. В результате всех действий будет число 15. Откуда это известно?
Решение
Пусть задуманное число – .
Почему же так? Потому что мы от начального два раза отняли по половине, т. е. 
Такой вот простой математический фокус.
Итоги урока
Итак, мы подтвердили, что арифметические и алгебраические выражения широко используются в математических моделях и задачах, являются важными элементами, средствами математического языка. Эти средства должны постоянно расширяться и пополняться.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд-е. – М.: Просвещение, 2010.
4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЕГЭ? Сдам!» (Источник)
2. Интернет-сайт «Науколандия» (Источник)
3. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
Домашнее задание
1. Найдите все допустимые значения переменных в выражениях:
1) 
2) 
3) 
2. Иван задумал число. Сначала он прибавил к нему 3, затем полученную сумму уменьшил вдвое и от результата отнял 11. Какое число задумал Иван, если в итоге он получил число 5?
3. Запишите на математическом языке:
1) Произведение суммы чисел 
и 
на их разность.
2) Отношение суммы кубов чисел и к их удвоенной разности.
3) Утроенный куб суммы чисел и .
