Задача 1
В каждом автобусе можно разместить 30 школьников. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти 930 школьников (см. Рис. 1)?
Решение
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решим данную задачу с помощью уравнения. Пусть 
– это искомое число автобусов. В каждый автобус помещается 30 учеников, следовательно, общее количество учеников, которые проедут в искомом числе автобусов, будет равно 
. Однако общее количество учеников нам известно – 930, поэтому получили уравнение:
Найдём , решив данное уравнение:
Ответ: 31 автобус.
Линейное уравнение с одной переменной. Определение
В задаче 1 мы составили уравнение, которое называется линейным уравнением.
Уравнение вида 
, где 
– переменная, 
и 
– некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Число 
обычно называют коэффициентом, а число 
– свободным членом. Они могут быть положительными и отрицательными, целыми и нецелыми, и даже нулями. Например:
Решение линейного уравнения с одной переменной
Рассмотрим 2 случая:
1. Коэффициент не равен 0 (
)
В этом случае обе части линейного уравнения можно разделить на a:
При этом будет равен:
2. Коэффициент равен 0 (
)
В этом случае линейное уравнение принимает вид 
. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на ноль следует, что, какое бы число мы ни взяли в качестве , при его подстановке в уравнение получится числовое равенство 
. Это равенство верное, когда , а в остальных случаях при 
это равенство неверное.
Следовательно, при 
и 
любое число является корнем линейного уравнения
, так как при этих условиях подстановка вместо любого числа дает верное числовое равенство
. А при и 
линейное уравнение 
не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо любого числа приводит к неверному числовому равенству (см. Рис. 2).
Рис. 2. Решение линейного уравнения с одной переменной
Задача 2
Решите уравнения:
1. 
Коэффициент в данном уравнении не равен 0, поэтому корень данного уравнения будет равен:
2. 
Коэффициент в данном уравнении равен 0, а свободный член не равен нулю, следовательно, у этого уравнения решений нет.
3. 
можно представить, как 
. Поэтому будет равен:
4. 
Коэффициент и свободный член в данном уравнении равны 0, поэтому – это любое число.
5. 
Задача 3
Решите уравнения:
1. 
Для удобства выполнения деления переведем 
и 
в неправильную дробь.
2. 
представим в виде обыкновенной дроби.
Задача 4
При каких значениях выражение 
равно 0,1?
Решение
Формулировка данной задачи означает, что нам необходимо найти из уравнения 
.
Ответ: 
.
Задача 5
Составьте линейное уравнение, которое имеет корень (-3).
Решение
Общий вид линейного уравнения – это . По условию 
, потому необходимо найти такие и , чтобы 
. Для этого выбираем любое число , например 2:
Число выбираем такое, чтобы равенство было верным.
Ответ: 
.
Итоги урока
На этом уроке мы познакомились с понятием линейного уравнения с одной переменной, узнали, как называются составные части таких уравнений. Также мы узнали, сколько решений имеет линейное уравнение с одной переменной, и рассмотрели несколько примеров с решениями.
Эквивалентные преобразования уравнений
С уравнениями можно производить следующие эквивалентные преобразования.
1. К обеим частям равенства можно прибавлять или вычитать одно и то же число. Например, к каждой части уравнения 
можно прибавить 3, равенство при этом не изменится.
2. Каждую часть уравнения можно домножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю). Например, каждую часть уравнения 
можно домножить на 
, равенство при этом сохранится.
Более сложные примеры
Задача 6
При каких значениях уравнение 
имеет корень 
?
Решение
При подстановке в уравнение должно получиться верное равенство:
После подстановки в уравнение мы получили новое линейное уравнение с переменной и коэффициентом равным 0,02. Решим это уравнение.
Ответ: .
Задача 7
При каких значениях 
уравнение 
имеет: 1. 0 корней; 2. 1 корень; 3. бесконечно много корней?
Решение
Для того чтобы найти в этом линейном уравнении, необходимо 
разделить на . Однако может быть равным 0, поэтому рассмотрим два случая.
а) Если 
, то:
Следовательно, при : x – это любое число, уравнение имеет бесконечно много решений.
б) Если 
, то:
Следовательно, при : уравнение будет иметь одно решение (один корень).
Ответ: 1. Не существует таких значений , при которых данное уравнение не имеет корней.
2. При – 1 решение.
3. При – бесконечно много решений.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г., Н.П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение. 2010.
4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет портал "Школьный помощник" (Источник)
2. Интернет портал "Математика в школе" (Источник)
3. Видеохостинг YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Какое уравнение с одной переменной называется линейным?
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
3. Задания 4.2, 4.7, 4.9, 4.20 (стр. 23-26) – Мордкович А.Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы)http://slovo.ws/urok/algebra/07/003/023.html
4. Решите уравнения: 1. 
; 2. 
; 3. 
5. При каких значениях a уравнение 
: а) имеет корень, равный -3; б) имеет корень, равный 
; в) не имеет корней?
