Введение
На этом уроке мы будем решать задачи, связанные с одночленами. Мы умеем выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. На эти действия мы и будем решать задачи.
Пример 1. Сложение одночленов
Выполнить сложение одночленов: 
.
Решение. Прежде всего вспомним, что складывать и вычитать, приводя подобные, можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Принцип здесь очень прост. Если у вас было 
яблока и 
яблок, то вместе у вас 
яблок. А если было яблока и груш, то вы не можете говорить ни про яблок, ни про груш. Наконец, если было яблока и груши, а потом вам дали еще 
яблока и 
груш, то стало яблок и 
груш, то есть мы складываем яблоки с яблоками, груши – с грушами. Точно так же и с одночленами: складывать (или вычитать) коэффициенты мы можем только у тех одночленов, у которых буквенная часть полностью совпадает (в том числе и степени переменных).
Чтобы увидеть подобные слагаемые, запишем каждый одночлен в стандартном виде (упорядочив переменные по алфавиту для удобства). Будет: 
.
Найдем и приведем подобные слагаемые: 
.
Можно заметить, что, по сути, мы применили распределительный закон два раза, вынеся за скобки 
и 
соответственно: 
.
То есть получаем, что 
.
Пример 2. Умножение одночленов
Умножить одночлены: 
.
Решение. Напомним, что при умножении одночлена на одночлен нужно перемножить коэффициенты отдельно, а буквенные части отдельно – к каждой букве применяем свойство степеней, складывая показатели.
Получаем: 
.
Пример 3. Возведение одночленов в степень
Умножить одночлены: 
.
Решение. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно его коэффициент возвести в эту степень, а также каждую переменную возвести в степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.
Сначала возведём выражение в скобках в куб, а затем применим уже повторенное свойство умножения одночлена на одночлен. Получаем: 
.
Пример 4. Деление одночленов
Разделить одночлены: 
.
Решение. В этом случае мы делим коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем последовательно делим степень каждой переменной (буквы). При делении показатели степени вычитаются.
Сначала возведем одночлены в степень, а потом выполним деление. Получаем:
.
Пример 5. На все арифметические операции
Упростить выражение: 
.
Решение
1. Первым действием приведем подобные в первых скобках и возведем полученный результат в куб: 
2. Возведем в четвертую степень второй множитель: 
3. Перемножим результаты первого и второго действия: 
4. Поделим одночлены: 
5. Отнимем одночлены, которые получились в третьем и четвертом действиях:
Получаем, что: 
.
Пример
Упростить выражение: 
при условии, что 
такое, что в первой скобке можно привести подобные слагаемые.
Решение. Найдем . Чтобы вычесть одночлены, их буквенные части должны совпадать с точностью до показателя степени, то есть 
, откуда 
. Тогда 
.
Имеем:
Заключение
На этом уроке мы вспомнили все основные действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), и повторили, как их выполнять, на различных примерах.
Список литературы
1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.
2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.
3. Э.Г. Гельфман и др., Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
3. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
Домашнее задание
1. Упростить выражение 
.
2. Решить уравнение 
.
3. Замените символ 
таким одночленом, чтобы выполнялось равенство: 
.
