Сокращения в повседневной жизни
В повседневной жизни мы часто используем различные сокращения. Например, в школе говорим «физра» вместо «физкультура», «физкультура» вместо «физическая культура». Или используем различные аббревиатуры: например, мы говорим «дэзэ» вместо «домашнее задание».
Понятно, что так намного быстрее и удобнее, когда все знают, о чём идёт речь. Это общая идея, которая часто встречается: если приходится работать с какими-то объектами очень часто, то рано или поздно возникает идея их удобно обозначить.
В математике также используются удобные обозначения, то есть те, для работы с которыми придуманы эффективные алгоритмы. Например, позиционная система записи чисел: мы записываем числа с помощью цифр – число 754 пишем цифрами 7, 5, 4.
Почему мы записываем их именно так, а не палочками, не римскими цифрами или словами? Ответ понятен: потому что позиционная система записи чисел позволяет быстро и удобно выполнять арифметические действия – для этого есть удобный алгоритм.
Например, можно попробовать умножить 
– удобно сделать это умножением в столбик (Рис.
).
Рис. 
. Умножение в столбик чисел 
Квадрат числа, куб числа
Вспомним, что такое умножение – это удобная запись нескольких операций сложения одинаковых чисел, например: 
.
Когда для этого обозначения были получены и доказаны свойства, оно превратилось в полноценную арифметическую операцию, которую удобно использовать для вычислений.
А что если нужно умножить одно и то же число несколько раз? Например, чтобы найти площадь квадрата, умножаем его сторону на себя два раза (Рис. 
), т.е. 
, а чтобы найти объём куба – три раза (Рис. ), т.е. 
.
Рис. . Квадрат и куб со стороной (ребром) 
Вы уже знакомы с короткой записью этих выражений: 
– это выражение называется квадратом числа 
(площадь квадрата со стороной ), а выражение 
– кубом числа (объём куба с ребром ).
Степень числа 
с натуральным показателем 
А что если число умножается само на себя не 
раза, а 
раз?
Обобщим короткую запись квадрата числа и куба числа: если нам нужно будет умножить число на себя много раз, например, 
раз, то запишем такое умножение следующим образом:
Определение: степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен : , где – основание степени (может принимать любые значения), – показатель степени (
).
Обратите внимание, что степень – это не что-то новое, а просто короткая запись умножения одинаковых множителей.
Вычисление плотности Земли
А насколько удобно такое обозначение, пригодится ли оно нам? Рассмотрим пример.
Масса Земли равна 
кг. Можно переписать в тоннах: 
т – получилось не намного более удобно. Особенно, если нужно определить, например, среднюю плотность Земли. Вспомним, что плотность вычисляется по формуле 
.
Масса нам известна, осталось посчитать объём Земли. Будем считать Землю её шаром с радиусом 
км. Объём шара, как мы знаем, вычисляется по формуле: 
.
Получится 
.
Если делить полученные значения массы и объёма в столбик, это займёт много времени
Вычисление объёма Земли
Объём шара рассчитывается по формуле 
где 
– радиус шара.
В нашем случае 
км, тогда
Попробуем использовать введённые обозначения степени.
Масса Земли может быть записана в виде: 
, где второй множитель – это 
, умноженное на себя 
раза, то есть 
. Получаем:
кг
Такая запись гораздо компактнее (в частности, чтобы передать такую информацию, нужно всего 
знака: первый множитель и степень ). А объём можно переписать в виде:
Кроме компактности записи, использование степеней позволяет сократить и вычисления. Найдём среднюю плотность Земли:
В числителе стоит произведение множителей , а в знаменателе – 
таких множителей. Значит, после сокращения в знаменателе все множители исчезнут, а в числителе их останется 
, т.е. получим:
Обратите внимание, что мы всего лишь по-другому записали числа (ввели новый объект – степень), и это помогло упростить и сократить вычисления.
Стандартный вид числа
Мы упростили вычисления с помощью новой записи числа. Массу Земли мы представили в виде 
кг. Для такой записи есть отдельное название, ее называют стандартным видом числа.
Определение: стандартным видом числа называют его запись в виде: 
, где 
и – целое число.
Обратите внимание, что объём Земли был записан в похожем виде, но не в стандартном:
В стандартном виде это число было бы записано так: 
Деление степеней с одинаковым основанием
Вычисляя среднюю плотность Земли, мы вывели одно из свойств степени – деление степеней с одинаковым основанием.
Действительно, пусть нам необходимо поделить две степени с одинаковым основанием:
То же самое можно выполнить для любых степеней: 
при (
).
Если 
, то мы получим: 
.
Итак, по определению: 
.
Умножение степеней с одинаковым основанием
А что будет, если мы захотим умножить две степени с одинаковым основанием? Например, чему равно выражение: 
? Найдем:
Теперь найдем 
:
А теперь то же самое можно сделать для любых степеней с одинаковым основанием:
Рассмотрим пример с использованием полученных свойств степеней.
Задание . Представить в виде степени с основанием 
:
Решение:
Ответ: 
.
Возведение степени в степень
Теперь попробуем возвести степень в степень:
Такие же действия мы можем проделывать для любых степеней:
Рассмотрим такой пример.
Задание . Вычислить:
Решение:
Ответ: .
Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
До этого мы рассматривали свойства степеней одинаковыми основаниями. А что можно сказать про степени с одинаковыми показателями?
Рассмотрим выражение:
Запишем в общем виде:
Аналогично поступим с делением:
Запишем в общем виде:
Рассмотрим несколько примеров.
Задание . Представить в виде степени с основанием :
Решение:
Ответ: 
.
Задание . Вычислить:
Решение:
Ответ: 
.
Задание 
. Вычислить:
Решение:
Мы знаем свойства степеней с одинаковым основанием, а в данном примере все они разные. Поэтому упростим основания степеней, разложив их на простые множители:
Перепишем исходное выражение следующим образом:
Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, поэтому если мы хотим поделить на какое-то число, то это то же самое, что умножить на число, обратное ему:
А теперь сгруппируем степени с одинаковым основанием:
Ответ: 
.
Итак, упрощать выражения со степенями несложно: нужно разложить основания степеней на множители, затем, используя свойства степеней, сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и упростить полученные группы степеней.
Заключение
На этом уроке мы ввели короткое обозначение произведения одинаковых чисел – степень с натуральным показателем: , а также получили некоторые свойства степеней и потренировались преобразовывать различные выражения со степенями.
Список рекомендованной литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
- Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник)
Домашнее задание
- Запишите произведение в виде степени:
. - Вычислите:
. - Упростите выражение:
.
