Иррациональные уравнения

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

В ходе этого занятия мы узнаем об уравнениях, в которых переменная стоит под знаком квадратного или другого корня, такие уравнения называются иррациональными. Мы приведём пример иррациональных уравнений, а также научимся их правильно решать.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Определение иррационального уравнения

Для начала нам необходимо понять, что же такое иррациональное уравнение. Иррациональными называются такие уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня. Приведём примеры иррациональных уравнений:

Примеры решения иррациональных уравнений

Теперь решим вышеприведенные уравнения.

Нам необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня.







Мы считаем, что нашли корни уравнения, однако мы нашли лишь корни уравнения после возведения исходного в квадрат ( 2x−5=4x−7). Чтобы проверить, подходит ли нам корень , сделаем проверку: Если , то => => => Несмотря на то, что с первого взгляда с двух сторон уравнения у нас стоят выражения одинаковые, полученное равенство неверно, поскольку, по определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т. е. не существует. Поскольку мы ничего не знаем о возможностях каких-либо арифметических действий с числами типа , то равенство не верно, а соответственно – посторонний корень для исходного уравнения. Ответ: нет решения.	Теперь сделаем проверку нашего решения: Если , то => . Проверка доказала, что равенство выполняется, значит, – корень исходного уравнения. Ответ:

Необходимость проверки корней после решения иррационального уравнения

Таким образом мы видим, что, решая иррациональные уравнения, нам необходимо всегда делать проверку полученных корней. Для того чтобы понять, почему это происходит, давайте решим ещё один пример.

Решаем по уже известной нам схеме и возводим обе части в квадрат.

Не забываем, что мы решили квадратное уравнение и нашли его корни, а не корни исходного иррационального уравнения. Чтобы проверить, подходят ли они нам, делаем проверку.

Проверка:

Мы видим, что равенство получилось неверное, значит, – не корень исходного иррационального уравнения.

Видим, что равенство получилось верное, поэтому – корень исходного уравнения.

Ответ:

Решение иррациональных квадратных уравнений

Теперь вернёмся к нашему вопросу, почему же необходимо проверять корни.

Для этого рассмотрим один не большой, но наглядный пример:

Однако если мы обе части возведём в квадрат, то получим:

Т. е. мы из неверного неравенства получили верное: если после возведения в квадрат числа равны, это не значит, что исходные числа тоже равны (именно поэтому корни уравнений необходимо проверять).

Рассмотрим необходимость проверки корней с другой стороны:

Пусть мы имеем иррациональное уравнение, где . Решаем его так же, как и предыдущие примеры, т. е. возводим обе части в квадрат . Далее предположим, что мы решили это уравнение и получили корни.

Откуда же берутся посторонние корни?

Полученное уравнение будет правильным тогда и только тогда, когда хотя бы одна из

скобок равна 0, т. е. => . Посмотрим на всё решение: нам необходимо было решить исходное уравнение , мы его решили и нашли, что , однако вместе с этим мы также получили решение , которое не является решением, именно поэтому при решении иррациональных уравнений мы делаем проверку, чтобы понять какой из корней является непосредственно решением нашего исходного уравнения. Таким образом мы можем сделать следующий вывод: из равенства квадратов не следует равенство аргументов, однако из равенства аргументов следует равенство квадратов.

Проверка

Мы знаем, что квадратный корень – величина неотрицательная, поэтому не будем вычислять значение под его знаком, а просто скажем, что . Тогда, по определению квадратного корня, также такое неравенство должно выполняться . Теперь подставим полученное нами первое значение : – это неравенство неверно, поэтому можем сразу сказать, что не является корнем исходного иррационального уравнения.

Сделаем аналогично со вторым корнем: : неверное неравенство, поэтому корень также не является корнем исходного иррационального квадратного уравнения.

Таким образом получается, что в данном уравнении нет корней.

Ответ: корней нет.

Главная особенность решения иррациональных уравнений: если мы возводим иррациональное уравнение в квадрат, то после нахождения корней вторичного уравнения мы обязаны проверить, являются ли эти корни корнями исходного иррационального уравнения.

Вывод

Итак, мы с вами на данном уроке познакомились с иррациональными квадратными уравнениями, познакомились со способами решения простейших иррациональных квадратных уравнений. Выучили, что некоторые корни при решении могут оказаться неверными, а для того чтобы избежать неправильного ответа, нам необходимо всегда после полного решения уравнения делать проверку. Также мы объяснили, почему мы можем получить неверные (посторонние) корни: из равенства квадратов не следует равенство аргументов, однако из равенства аргументов следует равенство квадратов.

И самое главное: после решения иррационального уравнения всегда необходима проверка корней методом их подстановки в исходное уравнение.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал Viripit.ru (Источник).
Якласс (Источник).
Интернет-портал Math.md (Источник).

Домашнее задание

Решите уравнения: a) ; b)
Найдите сумму корней уравнения
№556 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.