Теперь вернёмся к нашему вопросу, почему же необходимо проверять корни.

Для этого рассмотрим один не большой, но наглядный пример:

Однако если мы обе части возведём в квадрат, то получим:

Т. е. мы из неверного неравенства получили верное: если после возведения в квадрат числа равны, это не значит, что исходные числа тоже равны (именно поэтому корни уравнений необходимо проверять).

Рассмотрим необходимость проверки корней с другой стороны:

Пусть мы имеем иррациональное уравнение, где . Решаем его так же, как и предыдущие примеры, т. е. возводим обе части в квадрат . Далее предположим, что мы решили это уравнение и получили корни.

Откуда же берутся посторонние корни?

Полученное уравнение будет правильным тогда и только тогда, когда хотя бы одна из

скобок равна 0, т. е. => . Посмотрим на всё решение: нам необходимо было решить исходное уравнение , мы его решили и нашли, что , однако вместе с этим мы также получили решение , которое не является решением, именно поэтому при решении иррациональных уравнений мы делаем проверку, чтобы понять какой из корней является непосредственно решением нашего исходного уравнения. Таким образом мы можем сделать следующий вывод: из равенства квадратов не следует равенство аргументов, однако из равенства аргументов следует равенство квадратов.

=>

Проверка

Мы знаем, что квадратный корень – величина неотрицательная, поэтому не будем вычислять значение под его знаком, а просто скажем, что . Тогда, по определению квадратного корня, также такое неравенство должно выполняться . Теперь подставим полученное нами первое значение : – это неравенство неверно, поэтому можем сразу сказать, что не является корнем исходного иррационального уравнения.

Сделаем аналогично со вторым корнем: : неверное неравенство, поэтому корень также не является корнем исходного иррационального квадратного уравнения.

Таким образом получается, что в данном уравнении нет корней.

Ответ: корней нет.

Главная особенность решения иррациональных уравнений: если мы возводим иррациональное уравнение в квадрат, то после нахождения корней вторичного уравнения мы обязаны проверить, являются ли эти корни корнями исходного иррационального уравнения.