Решение биквадратных уравнений
Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения. Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда. На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.
Задание 1. Решить уравнение:
Решение.
Воспользуемся свойством степеней 
и перепишем уравнение в виде:
Обратим внимание, что неизвестная величина 
присутствует в уравнении только в составе «конструкции» 
. В таком случае применяют метод замены переменной.
Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:
Заменяя на 
, получаем уравнение:
Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.
Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта
Имеем следующее квадратное уравнение:
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:
Тогда:
Найдем корни квадратного уравнения:
Ответ: 
.
Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:
Решаем уравнение, получаем корни:
Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:
Тогда:
Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение 
имеет два решения:
Второе уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 
.
В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только 
-я и 
-я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:
Решение дробно-рациональных уравнений
Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».
При решении дробно-рациональных уравнений важно:
- в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
- после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.
Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.
Задание 2.Решить уравнение:
Решение.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:
Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:
Получили линейное уравнение, решением которого является 
. Это решение входит в ОДЗ, ведь 
.
Ответ: 
.
Задание 3.Решить уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ:
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 
. Мы это можем сделать, поскольку 
, тогда:
Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:
Найдем корни этого уравнения:
Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому не является решением уравнения.
Ответ: 
.
Решение более сложных рациональных уравнений
Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.
Задание 4. Решить уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ:
Решим каждое из этих неравенств:
Можем объединить эти неравенства в одно:
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:
Приведем все дроби к общему знаменателю 
:
Тогда:
Дробь равна 
, если ее числитель равен :
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:
Найдем корни квадратного уравнения:
Корень 
не входит в ОДЗ.
Ответ:
Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями. Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.
Задание 5. Решить уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ:
Решим эти неравенства:
Обратим внимание, что неизвестная присутствует в уравнении в похожих конструкциях 
, которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:
Тогда:
Исходное уравнение будет иметь вид:
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом 
, поскольку 
:
Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:
Вернемся к замене:
Решаем первое уравнение:
Решаем второе уравнение:
Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
.
Задание 6. Решить уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ:
В подобных уравнениях стандартной является замена:
Чтобы выразить 
через , произведем следующие действия:
После замены исходное уравнение будет иметь вид:
Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:
Найдем корни уравнения:
Вернемся к замене:
Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на и получить квадратные уравнения:
Первое уравнение имеет решения:
Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.
Ответ: 
.
Решение иррациональных уравнений
Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.
Задание 7. Решить уравнение:
Решение.
Как мы знаем, выражение 
имеет смысл только для значения 
. Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:
Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Получили линейное уравнение, корнем которого является:
Полученное значение входит в ОДЗ:
При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.
Посторонние корни
Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство 
очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:
При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны. Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни. Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.
Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:
Мы получили правильное равенство, значит, является решением уравнения.
Ответ: 
.
Задание 8. Решить уравнение:
Решение.
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
После преобразования получим квадратное уравнение:
Найдем корни уравнения:
Проверим, входят ли корни в ОДЗ.
:
Неравенство неверное, значит, корень не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.
:
Корень входит в ОДЗ.
Теперь выполним проверку, подставив в исходное уравнение:
Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень 
.
Ответ:
.
Заключение
Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.
Список литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
- Интернет-портал youclever.org (Источник)
- Интернет-портал kontromat.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Решить биквадратное уравнение:
2. Решить дробно-рациональное уравнение:
3. Решить иррациональное уравнение:
