Квадратные неравенства повышенной сложности

Методы решения квадратных неравенств

Квадратными называются неравенства вида .

Методы решения квадратных неравенств, основанных на свойствах квадратичной функции.

1. Чтобы решить, например, неравенство , нужно рассмотреть функцию:

2. Найти корни функции, с целью построить схематический график параболы. Корни в данном случае

3. Рассмотреть схематический график функции (Рис. 1).

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

Рис. 1. График квадратичной функции

4. Решением данного неравенства являются все значения в интервале: . Границы интервала входят в ответ, т. к. условие допускает равенство трехчлена нулю.

Рассмотрим аналогичное неравенство: . Мы можем построить график функции для данного квадратного трехчлена (Рис. 2):

Интересующие нас значения находятся все на том же интервале

Так, мы видим, что при умножении неравенства на минус единицу ответ не изменяется, и любое неравенство с отрицательным старшим коэффициентом можно преобразовать и получить положительное

Рис. 2. График квадратичной функции

Пример №1 (сложные коэффициенты)

Решить неравенство:

Один из корней явно угадывается , потому что получаем верное числовое решение

Поскольку один корень уравнения найден, дискриминант его больше либо равен нулю.

Второй корень находим по теореме Виета. Произведение и сумма корней легко выражаются через коэффициенты.

Находим второй корень:

Строим схематический график параболы (Рис. 3):

Ветви параболы направлены вверх, проходят через точки  . Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней функция отрицательна. Нам нужны те значения, при которых функция отрицательна. Это 

Рис. 3. График квадратичной функции

Ответ: .

Какие могут быть сопутствующие задачи для такого вида неравенств?

Допустим: найти целочисленные решения для данного неравенства.

 находится левее , затем , а  не входит в ответ, значит, целочисленное решение:  

Пример №2 (замена переменных)

Решить неравенство:

Обозначим  за новую переменную ;  Тогда неравенство превращается в следующее квадратное неравенство

Решение:

Рассматриваем функцию:

Находим корни, используя обратную теорему Виета.

Схематически рисуем график функции  (Рис. 4).

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

Рис. 4. График квадратичной функции

Решение неравенства: , но  Так, получаем

Переходим к старой переменной.

Переходим к системе:

Первое неравенство системы выполняется всегда.

 

Рассматриваем график функции:  (Рис. 5).

Рис. 5. График квадратичной функции

Корни:

График очевиден. Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней все значения отрицательные.

Решение неравенства:

Пример №3

Решить неравенство:

Обозначим  за новую переменную ;  Тогда неравенство превращается в следующее квадратное неравенство

Решение:

1. Рассматриваем функцию:

2. Находим корни, используя обратную теорему Виета.

3. Схематически рисуем график функции  (Рис. 6).

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

Рис. 6. График квадратичной функции

4. Решение неравенства:  или но

5. Переходим к старой переменной.

6. Переходим к системе: ; первое неравенство  не имеет решений.

 

7. Рассматриваем график функции:  (рисунок 53.5). Корни:

8. График очевиден. Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней все значения отрицательные, вне интервала – положительные.

9. Решение неравенства:  или

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Квадратные неравенства повышенной сложности». Вы вспомнили свойства квадратичных функций, на основании которых решаются квадратные неравенства любой сложности. К квадратичной функции сводятся любые неравенства, несмотря на их сложность.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. Видеоуроки для школьников (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить неравенство:
2. Какие квадратные неравенства относятся к неравенствам повышенной сложности?
3. №555, 557. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.