08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)

Уравнения с одним модулем

Напоминание

Вспомним определение модуля:

Самое простое уравнение с модулем – это уравнение вида: .

1) При  (например, ) уравнение решений не имеет, так как модуль по определению принимает только неотрицательные значения.

2) При :  уравнение имеет одно решение , так как 0 равен модуль только числа 0.

3) При  уравнение имеет два решения, ,  (например,  при , равном 5 и -5).

Пример

Решить уравнения:

1) 

2) 

3) 

Решение:

1) Попробуем эквивалентными преобразованиями свести данное уравнение к виду .

Перенесем все слагаемые с  в одну сторону, а все слагаемые без  – в другую:

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

Получили уравнения вида .

 или

2) Такое уравнение легко сводится к предыдущему выполнением замены: . Получим, . Его решение ; .

Затем выполняем обратную замену:

То есть любое уравнение вида  можно свести к предыдущему типу уравнений заменой: .

3) Это уравнение вида .

Выполним замену. Обозначим через  выражение . Тогда уравнение принимает следующий вид:

 или

Теперь выполним обратную замену.

или       

Приведем уравнения эквивалентными преобразованиями к виду .

 или

 или .

Для решения уравнений с одним модулем необходимо следующее.

Знать определение модуля: .

Понимать уравнение  заменой  сводится к уравнению: , которое решается с использованием определения модуля.

Уравнения с несколькими модулями

Напоминание

Выражение  – это следует из определения модуля, если выполнить замену: . Например:

.

Поэтому решение уравнения с несколькими модулями начинается с исследования выражений под знаком модуля. Выражение  меняет знак в точке  (например, в рассмотренном примере  положительно при  и отрицательно при , то есть смена знака происходит в точке ).

Пример

Решить уравнения:

1) 

2) 

3) 

Решение:

1) Находим нули подмодульных выражений

, ,

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

1. :

  – подходит.

2. :

  – не подходит.

3. :

 – подходит.

4. :

  – не подходит.

Ответ:; .

2) Находим нули подмодульных выражений.

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на три интервала. Определим знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

При :

  – не подходит

При :

Равенство верно при любом значении , но так как мы работаем на интервале, то  может быть любым числом из этого интервала.

При :

  - не подходит

Ответ: .

3) Находим нули подмодульных выражений.

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на три интервала. Определим знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

При :

  – не подходит.

При :

Равенство неверно при любом значении .

При :

 – не подходит.

Ответ: решений нет.

Примечание

Аналогично решаются уравнения с одним модулем, которые содержат переменную не только под знаком модуля.

Пример

Решить уравнение:

Решение:

Воспользоваться заменой, как в уравнениях вида , недостаточно, так как в правой части теперь стоит выражение, которое содержит переменную. А значит, знак выражения в правой части зависит от этой переменной.

Сначала находим ноль подмодульного выражения:

Найденный ноль разбивает числовую ось на два промежутка.

Определим знак подмодульного выражения на каждом промежутке.

При :

 – подходит.

При :

Данное равенство неверно при любом значении переменной, значит, на промежутке  уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Для решения уравнений с несколькими модулями необходимо следующее.

Понимать выражение  меняет свой знак только в точке .

Методы решения систем линейных уравнений

Напоминание

Иногда возникают уравнения, в которых встречаются сразу несколько переменных.

В этом случае обычно неизвестные входят сразу в несколько уравнений. Набор из нескольких уравнений называется системой уравнений. Решить систему уравнений означает найти все значения неизвестных, при которых все уравнения системы обращаются в верные равенства, или доказать, что таких значений нет.

Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными  и .

Система линейных уравнений записывается следующим образом:

Решением системы будут все пары значений , которые удовлетворяют одновременно и одному, и второму уравнениям.

Существует два основных способа решения систем уравнений (не только линейных):

1) Метод подстановки.

2) Метод сложения.

Идея метода в том, чтобы исключить одну из переменных путем сложения уравнений. Сложить уравнения – значит сложить отдельно их правые и левые части.

О том, почему можно заменить одно из уравнений системы получившимся в результате сложения уравнением см. теор. справку.

Пример

Решить систему уравнений методом подстановки:

Решение:

Сначала выражаем одну переменную из любого уравнения. Например, выразим из первого уравнения  (в этом случае переменную  можно рассматривать как параметр, то есть первое уравнение мы решаем относительно переменной ):

.

Затем подставляем во второе уравнение вместо переменной полученное на первом шаге выражение и решаем его. То есть в нашем примере подставим вместо  во второе уравнение выражение .

Теперь второе уравнение содержит только одну переменную, решим его. Сначала раскроем скобки.

Перенесем все слагаемые с  в одну сторону, а все слагаемые без  – в другую:

Теперь подставляем найденное нами значение в первое уравнение.

Ответ записываем в виде пары чисел .

Ответ: .

Пример

Решить системы уравнений методом алгебраического сложения:

1) 

2) 

Решение:

1) Первое уравнение содержит в левой части , а второе – . Значит, если мы сложим уравнения, то слагаемые с  сократятся. Выполним сложение:

Теперь возьмем любое из уравнений исходной системы и подставим в него найденное значение.

Ответ: .

2) Предположим, мы хотим исключить , в первом уравнении коэффициент при  равен 2, а во втором – 4. Воспользуемся тем, что мы можем домножать обе части уравнения на любое число, отличное от нуля. Домножим уравнения так, чтобы коэффициенты при  стали противоположными числами. Для этого обе части первого уравнения системы можно умножить на , получим:

.

Теперь при сложении уравнений слагаемые с  сократятся.

Теперь возьмем любое из уравнений исходной системы и подставим в него найденное значение.

Ответ: .

Пример

Решите систему уравнений:

Решение:

Эквивалентными преобразованиями попробуем привести каждое уравнение системы к виду . Тогда получим систему линейных уравнений, которую мы уже умеем решать.

Рассмотрим отдельно каждое уравнение, начнем с первого.

Избавимся от знаменателей, для этого домножим правую и левую части уравнения на общий знаменатель всех дробей 12.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

Избавимся от знаменателей, для этого домножим правую и левую части уравнения на общий знаменатель всех дробей 6.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Итак, мы получаем систему . Из второго уравнения выразим .

Подставим вместо  в первое уравнение .

Поставим вместо  во второе уравнение единицу.

Ответ: .

Для решения систем линейных уравнений необходимо следующее.

Уметь

применять 2 основных метода решения систем линейных уравнений.

Понимать

при решении системы линейных уравнений методом подстановки, когда выражается одна из переменных, вторая выступает в роли параметра.

Количество решений системы линейных уравнений

Напоминание

В некоторых задачах требуется найти не решения системы линейных уравнений, а их количество.

Количество решений системы линейных уравнений  можно определить по соотношению коэффициентов.

Мы уже знаем, что уравнения можно домножать и делить на одно и то же ненулевое число – уравнение в результате не изменится.

Домножим первое уравнение на , а второе – на , получим:

.

Если теперь вычесть из первого уравнения второе, то получим .

Если коэффициент при  не равен 0, то получается линейное уравнение, которое, как мы уже знаем, имеет одно решение, и, значит, система имеет одно решение. То есть при  или если , то система имеет одно решение.

Если же коэффициент при  равен 0 , то возможны два варианта.

Если , то получается верное равенство , которое верно при всех значениях  и система имеет бесконечно много решений.

Если же , то получается неверное равенство (в левой части 0, а в правой – ненулевое выражение) и система решений не имеет.

Кратко полученные результаты можно сформулировать так.

Если , то система имеет бесконечное количество решений.

Если , то система не имеет решений.

Если , то система имеет одно решение.

Пример

При каких значениях параметра  система уравнений  не имеет решений?

Решение:

Это задание можно решить как с помощью сложения уравнений, так и с использованием полученных условий для количества решений системы линейных уравнений.

1 способ

В условии нам дана система линейных уравнений. Мы знаем, что она не имеет решений, если выполняется следующее: . Перепишем это условие для нашей системы:

.

Из первой пропорции  можем найти  (http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/proportsii-2):

Осталось проверить выполнение второго неравенства. Для этого подставим по очереди найденные значения.

:

Данное неравенство неверно, поэтому 4 не подходит.

: 

Данное неравенство верно, поэтому   подходит.

2 способ

Если вы забыли про условия, которые должны выполняться для того, чтобы система не имела корней, всегда можно решить такое задание, используя метод сложения.

При  система имеет решение .

Значит, для того чтобы система не имела решений, . Домножим первое уравнение системы на 8, а второе на . Получим:

Сложим полученные уравнения:

Для того чтобы данное уравнение не имело решений (чтобы и вся система не имела решений), необходимо, чтобы коэффициент при  был равен 0 (иначе получим линейное уравнение, которое всегда имеет решение), а правая часть была не равна 0:

 и

Из первого уравнения получаем . Подставляем во второе неравенство и видим, что одновременно этим двум условиям удовлетворяет только .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

при каких соотношениях коэффициентов система:

• не имеет решений,

• имеет одно решение,

• имеет бесконечно много решений.

Понимать

количество решений системы линейных уравнений в зависимости от соотношения коэффициентов можно вывести, решая систему с помощью метода подстановки.

Системы уравнений высших степеней

До этого мы рассматривали решение только систем линейных уравнений (в которых обе переменные входили в первой степени), теперь рассмотрим решение систем уравнений высших степеней.

Примечание

Методы, которые мы рассматривали для систем линейных уравнений, могут использоваться и для решения других систем уравнений.

Метод подстановки удобно использовать тогда, когда в одном из уравнений можно легко выразить одну из переменных через другую (например, когда одно из уравнений системы линейное).

Пример

Решить систему уравнений:

Решение:

Поскольку первое уравнение системы линейное, то попробуем решить данную систему методом подстановки.

Выразим  из первого уравнения:

Подставим во второе уравнение  вместо .

Раскрываем скобки во втором уравнении:

Приведем подобные слагаемые:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Найдем  для каждого значения .

или

или

или                   

Ответ: , .

Пример

Решить систему уравнений:

Решение:

Можно заметить, что в обоих уравнениях системы есть два одночлена с противоположными коэффициентами. Это подсказывает нам использовать метод сложения.

Складываем уравнения системы:

Получили новое уравнение, которым можно заменить любое из уравнений исходной системы (например, первое):

Мы получили систему уравнений, первое из которых линейное. Так же, как и в предыдущем примере, воспользуемся методом подстановки. Выразим  из первого уравнения:

Подставим во второе уравнение  вместо .

Упростим второе уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Решим второе уравнение:

Найдем  для каждого значения .

или

или

или

Ответ: , .

Примечание

Кроме методов подстановки и сложения, для решения систем уравнений высших степеней применяют метод замены переменной. Этот метод позволяет упростить уравнения системы и свести ее решение к применению метода подстановки или метода сложения.

Пример

Решить системы уравнений:

1) 

2)

Решение:

1) Мы видим в левых частях обоих уравнений одинаковые выражения:  и . Поэтому, если обозначить  через , а  через , , то мы избавимся от старых переменных и перейдём к новым, при этом система примет вид:

Такую систему можем решить методом подстановки (второе уравнение – линейное). Выразим  из второго уравнения системы.

Теперь подставим вместо  в первое уравнение выражение .

Упростим первое уравнение системы.

Первое уравнение квадратное. Решим его отдельно.

Для каждого значения  найдем значение . Подставим вместо  во второе уравнение найденное значение.

или 

или            

Теперь выполним обратную замену и решим каждую систему отдельно.

1. 

Решим систему методом подстановки (второе уравнение – линейное). Выразим из второго уравнения .

Подставим вместо  в первое уравнение выражение :

.

Упростим первое уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Решим отдельно первое уравнение:

Для каждого  найдем соответствующее значение .

или 

или                        

2. 

Решим систему методом подстановки (второе уравнение – линейное). Выразим из второго уравнения .

Подставим вместо  в первое уравнение выражение .

Упростим первое уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Решим отдельно первое уравнение.

, значит, уравнение корней не имеет, тогда и система  не имеет решений.

Ответ: , .

2) Эту систему можно решать методом подстановки: второе уравнение – линейное. Однако мы рассмотрим решение этой системы с помощью замены переменных.

Рассмотрим первое уравнение системы. Выражения  и  обратные. Обозначим , тогда . Получаем уравнение:

Теперь выполним обратную замену.

или 

Получаем следующие две системы:

Решим их.

1. 

Воспользуемся правилом пропорции в первом уравнении:

Подставим вместо  во второе уравнение .

Подставим в первое уравнение найденное значение .

2. 

Воспользуемся правилом пропорции в первом уравнении:

Подставим вместо  во второе уравнение .

Ответ: , .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Уметь

применять методы подстановки, сложения и замены переменных.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение уравнений с модулями, а также систем уравнений.

На следующем уроке мы изучим методы решения различных текстовых задач.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Модуль действительного числа (алгебра, 8 класс, раздел «Функция y-x-свойства кратного корня») 

2) Модуль числа (математика, 6 класс, раздел «Повторение») 

3) Линейные уравнения и системы линейных уравнений (алгебра, 11 класс, раздел «Повторение») 

4) Система двух линейных уравнений с двумя переменными . Основные понятия. Метод подстановки (алгебра, 7 класс, раздел «Система двух линейных уравнений с двумя переменными») 

5) Системы уравнений. Метод подстановки (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств») 

6) Системы уравнений. Метод введения новых переменных (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств») 

7) Основные методы решения систем повышенной сложности (алгебра, 9 класс, раздел «Системы уравнений») 

8) Системы уравнений. Метод алгебраического сложения (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств») 

9) Системы уравнений. Основные сведения и примеры (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств»)