21. Виды функций. Графики функций (основной урок)

Степенная функция (линейная, квадратичная, дробно-рациональная, корень)

Рассмотрим две функции, заданные таблицами.

По этим значениям практически ничего нельзя сказать о функции в целом, а если построить их графики, то можно сделать определённые выводы. Попробуем классифицировать основные функции, которые нам понадобятся для решения примеров, и изучим их свойства. Некоторые из уже рассмотренных функций встречаются достаточно часто. На этом уроке мы рассмотрим свойства этих функций, а также изучим, как эти свойства влияют на их графики.

Мы подробно остановимся на свойствах степенной функции , а точнее её частных случаев ( – натуральное,  – целое отрицательное,  – частные случаи рациональных значений ), показательной и логарифмической функций, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Это все функции, свойства и графики которых нам необходимо изучить для решения различных задач.

Каждую функцию будем анализировать по стандартной схеме, которую мы рассматривали на прошлом уроке, а именно: ООФ, область значений, точки пересечения с осями координат, чётность/нечётность/общий вид, периодичность/непериодичность, промежутки монотонности.

Линейная функция

Линейной называется функция вида , где - угловой коэффициент; - свободный член. Графиком такой функции является прямая. Любую прямую можно однозначно восстановить по двум точкам (вспомним планиметрическую аксиому: через две точки на плоскости проходит ровно одна прямая).

Рассмотрим построение графика линейной функции на примере . Возьмем два любых значения аргумента, например,  и , и посчитаем в них значение функции.

Область определения : . Область значений :  (если ),  (если ).

Ветка. Почему две точки позволяют построить график линейной функции

Рассмотрим линейную функцию: .

Если мы нашли две точки, принадлежащие графику этой функции, то можем составить систему уравнений: . При этом в роли неизвестных выступают , . Вычтем уравнения: . Так как мы подставляли координаты двух разных точек, то у них разные абсциссы, поэтому линейное уравнение всегда имеет решение: .

Подставляем в любое из уравнений и находим . Таким образом, раз значения ,  восстанавливаются по координатам двух точек прямой однозначно, то и график прямой по двум точкам строится однозначно. По пути мы получили уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: .

Его можно преобразовать к общепринятому виду.

Линейная функция не является периодической. Чтобы не повторяться, сразу отметим, что все функции, рассматриваемые в стандартном школьном курсе, кроме тригонометрических, не являются периодическими. Что касается чётности или нечётности функции, то здесь всё зависит от значений коэффициентов , . ООФ симметрична относительно 0, поэтому, чтобы функция была чётной, достаточно:  при всех действительных : .

Так как равенство должно быть верно при всех действительных значениях переменной, то  – единственная чётная линейная функция. Мы уже говорили, что это вообще единственная функция, которая является чётной и нечётной одновременно.

Чтобы функция была нечётной, достаточно:  при всех действительных : . Значит, функция вида  является нечётной. Такая функция ещё называется прямой пропорциональностью (с увеличением, к примеру,  в 2 раза,  также увеличивается в 2 раза).

Прямые пропорциональности часто встречаются в различных законах. Например, в физике: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на этом участке: ,  – закон Ома для участка цепи. А ускорение прямо пропорционально равнодействующей сил, которые действуют на тело: ,  – второй закон Ньютона.

Построим графики функций  и  на двух разных листах, а затем сотрём оси координат. Графики не будут теперь для нас отличаться. То есть графики этих функций можно считать одинаковыми с точностью до выбранной системы координат. Таким образом, свойства функции и её графика можно разделить на два семейства:

глобальные свойства семейства функций без привязки к конкретной системе координат,

частные свойства данной конкретной функции в заданной системе координат.

Глобальные свойства – это свойства, которые остаются верными для любой прямоугольной системы координат, где бы мы ни разместили начало координат и куда бы ни направили оси. Частные свойства могут меняться в зависимости от системы координат.

Первый тип свойств мы часто используем в физике, когда вводим систему координат так, как нам удобно. Важно помнить, что при любом введении системы координат не может поменяться расстояние между точками, угол между прямыми (отрезками). Поэтому, например, если две машины встречаются, то это произойдёт в любой выбранной системе координат, так как расстояние между ними в этот момент равно 0. Если сумма всех сил, приложенных к телу, равняется 0, то это происходит во всех системах координат. Так как направление и длина вектора, равного сумме векторов, не зависит от введённой системы координат. Поэтому и проекции на оси координат этого вектора (суммы проекций векторов) будут равны 0.

Поэтому в любой прямоугольной системе координат графиком  будет прямая, а графиком  будет парабола. То есть можно говорить, что глобальные свойства графиков этих функций совпадают с глобальными свойствами функций , . А вот частные свойства – точки пересечения с осями, вершина параболы и т.п., будут зависеть от введённой системы координат.

При этом важно понимать, что в разных системах координат функции будут задаваться по-разному. Например, если мы сдвинем ось  вверх на 3 единицы, а ось  вправо на 2 единицы, то наш график в новой системе координат опустится на 3 единицы и сдвинется влево на 2 единицы, то есть уравнение  превратится в уравнение . Более подробно о том, как преобразовываются графики функций при переходе в новую систему координат мы поговорим в пятой части этого урока.

Если , то точка пересечения прямой с осью абсцисс определяется решением уравнения: . Свободный коэффициент  задаёт точку пересечения прямой с осью ординат, так как . Угловой коэффициент , где  – угол между прямой и положительным направлением оси .

- угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс острый; как видим по графику, функция монотонно возрастает на всей области определения.

- угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс тупой; как видим по графику, функция монотонно убывает на всей области определения.

- прямая параллельна оси абсцисс.

Ветка. Доказательство

Докажем, что , где  – угол между прямой и положительным направлением оси .

Если , то прямая  параллельна оси  , то есть угол между прямой и  равен нулю, поэтому  – верно.

Рассмотрим теперь случай . График линейной функции может образовывать с положительным направлением оси  острый или тупой угол.

Рассмотрим первый случай.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в точках пересечения с осями координат и в начале координат. Его катеты равны  и . По определению тангенса, получаем .

Аналогично для второго случая получаем:

Используя формулу приведения, получаем, что .

Ветка. Почему график линейной функции не может быть вертикальной прямой?

Вертикальная прямая не может быть графиком функции, так как любая точка на вертикальной прямой имеет одну и ту же координату , то есть одному и тому же значению   соответствует бесконечно много значений . Это противоречит определению функции (каждому допустимому  должно соответствовать ровно 1 значение ).

Значит, вертикальная прямая – это не график функции, а ГМТ. Поскольку мы получили, что , а для вертикальной прямой , то уравнение  не имеет смысла, так как  не определён. Поэтому вертикальные прямые – единственное семейство прямых, которое задаётся не линейной функцией, а уравнением: .

Как мы знаем из геометрии, две прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Когда прямые  и  параллельны? Если , то  и наоборот, так как если одна из двух параллельных прямых параллельна третьей прямой (оси ), то и вторая также параллельна этой прямой.

Рассмотрим случай , . Тогда ось  является секущей этих двух прямых. Необходимое и достаточное условие параллельности: равенство соответственных углов.

Так как углы пересечения с положительным направлением оси  лежат в интервале от 0 до 180 градусов, то: . То есть прямые будут параллельны (или совпадать) тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны: . Отметим, что прямые совпадают, если ещё и . Если же , то прямые пересекаются в одной точке.

Поскольку эта точка принадлежит одновременно двум прямым, то её координаты должны удовлетворять одновременно уравнениям обеих прямых, то есть их можно найти, решив систему уравнений:

Ветка. Решение системы линейных уравнений

Рассмотрим решение системы линейных уравнений: .

Каждое из этих уравнений задаёт прямую (если коэффициенты при  и при  одновременно не равны 0). Действительно, если  – горизонтальная или наклонная прямая. А если  – вертикальная прямая.

Прямые на плоскости могут пересекаться, совпадать или быть параллельными. Это означает, что система может иметь одно решение, иметь бесконечно много решений или не иметь решений вообще

Ветка. Точки пересечения графиков функций

Как найти точки пересечения графиков функций , ? Точка пересечения принадлежит одновременно графикам обеих функций, то есть её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Значит, координаты точек пересечения – это множество решений системы уравнений: .

Если система не имеет решений, значит, графики функций не пересекаются. При решении уравнений и систем уравнений часто пользуются обратным свойством: по точкам пересечения графиков функций можно определить количество решений или сами решения соответствующей системы уравнений

Пример

Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение

Воспользуемся методом построения линейных функций по точкам.

а)

 и

б)

- угол наклона к оси  острый, - график проходит через начало координат.

в)

- константная функция, прямая проходит через точку  и параллельно оси .

Ветка. Исследование линейной функции по графику

Рассмотрим обратную задачу: по изображенному графику исследовать функцию.

По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

г)

Решение

Мы знаем, что .  – точка пересечения с .

а) Острый угол наклона прямой к оси  (функция возрастает): . Точка пересечения с осью  – это .

Далее аналогичные рассуждения.

б) ,

в) ,

г) График параллелен оси , т.е. , а .

Квадратичная функция

Квадратичной называется функция вида , , где  – старший коэффициент,  – коэффициент при ,  – свободный член.

Графиком квадратичной функции является парабола. Рассмотрим простейший частный случай: .

Построим .

График любой квадратичной функции – это парабола. От знаков параметров зависит вид параболы:

- ветки параболы направлены вверх;

- ветки параболы направлены вниз;

 – определяет положение вершины параболы;

- определяет координату пересечения параболы с осью ординат: .

Область определения: . Область значений: : , : .

Для того чтобы найти вершину параболы, выделим полный квадрат: .

Рассмотрим случай . В этом случае верно, что .

Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда . Таким образом, в этой точке достигается минимум квадратичной функции.

Аналогично при  в этой точке достигается максимум квадратичной функции. Минимум (соответственно, максимум) квадратичная функция достигает в вершине (см. рис.), поэтому получаем: .

 легче всего найти, подставив абсциссу вершины в квадратный трёхчлен. Точки пересечения с осью  определяются решением уравнения: : . Мы уже умеем решать квадратные уравнения и знаем, что возможны три случая:

1) : две точки пересечения с осью  (корни квадратного уравнения): . Несложно получить, используя эти формулы, что вершина лежит посередине между точками пересечения с осью .

2) : одна точка касания с осью :  . Обратите внимание, что в этом случае вершина совпадает с точкой касания с осью , то есть лежит на оси абсцисс.

3) : нет общих точек с осью . Это значит, что парабола находится либо полностью выше оси , либо полностью ниже оси .

Таким образом, по коэффициентам квадратичной функции мы можем найти:

1) направление веток параболы,

2) точки пересечения с осями,

3) координаты вершины параболы.

Этих данных вполне достаточно, чтобы схематически изобразить график квадратичной функции. Для самопроверки можно также отметить ещё несколько точек, подставив различные значения  и получив соответствующие значения  (так же, как мы делали для линейной функции).

Пример

Построить график функции .

Решение

Старший коэффициент: . Значит, ветки параболы направлены вверх. Точка пересечения с осью : . Точек пересечения с осью  две, так как дискриминант: , находить их не будем, так как получатся иррациональные значения.

Найдём координаты вершины параболы: , .

Несложно доказать (попробуйте это сделать самостоятельно), что квадратичная функция будет чётной только в том случае, когда . Нечётной квадратичная функция быть не может.

Парабола имеет две ветви, одна из которых соответствует возрастанию функции, а другая – убыванию. Вершина параболы является максимумом или минимумом функции (в зависимости от знака старшего коэффициента).

Пример

Построить графики функций: а) ; б) .

Решение

Воспользуемся методом построения квадратичных функций по вершине.

а)

- ветки параболы направлены вверх, , .

;

б)

- ветки параболы направлены вниз, , .

;

Ветка. Исследование квадратичной функции по графику

По виду графика определить знаки коэффициентов функции :

а)

б)

в)

Решение

: задаёт направление веток параболы; : задаёт положение вершины параболы;  – точка пересечения .

а) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

б) Ветви вверх, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

, т.к. , следовательно, .

в) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

, т.к. , следовательно, .

Обратная пропорциональность

Рассмотрим дробно-рациональную функцию, графиком которой является гипербола.

Общий вид такой функции . Эту функцию ещё называют обратной пропорциональностью, так как при увеличении , к примеру, в 2 раза, значение функции уменьшается в 2 раза и наоборот.

Обратные пропорциональности, как и прямые, часто встречаются в различных закономерностях. Например, закон Бойля – Мариотта для газов при постоянной температуре записывается: . То есть давление газа при постоянной температуре обратно пропорционально занимаемому им объёму.

В экономике спрос может быть обратно пропорционален цене товара, то есть , поэтому кривую спроса обычно рисуют в форме ветки гиперболы.

График функции  имеет вид:

Как видим, у графика есть асимптоты (оси координат). Их две: горизонтальная и вертикальная. Если , то ветки гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Если , то ветки гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.  Область определения : . Область значений : Точек пересечения с осями у гиперболы нет. Функция является нечётной. Каждая из веток гиперболы является промежутком монотонности (: убывания, : возрастания).

Пример

Построить графики функций: .

Решение

Так как , ветки гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, возьмем несколько точек и построим график.

График степенной функции в четной степени , где  выглядит как график простейшей параболы .

А график степенной функции в нечетной степени , где , например, , выглядит как так называемая кубическая парабола.

График корня четной степени , где , например, , имеет следующий вид:

График корня нечетной степени , где , например, , имеет следующий вид:

Точное построение таких графиков выполняется с подстановкой контрольных точек.

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функции – это функция вида , , . Своё название функция получила из-за того, что в ней переменная является показателем степени. Таким образом, с изменением переменной меняется показатель степени, а основание остаётся неизменным.

Ограничение на  связано с тем, что при отрицательных  функция была бы определена только при целых значениях  (ссылка – урок про показательные уравнения). Если же , то функция во всех точках принимала значение 1 и не представляла бы интерес для изучения (мы уже рассмотрели свойства такой функции, так как она является частным случаем линейной функции).

Исходя из определения, можно сформулировать основные свойства показательной функции:

1) 

2) 

3) Точки пересечения с осями:  (нули функции): :  – не существует (так как функция принимает только строго положительные значения). То есть у функции нет общих точек с осью .

: : , то есть график показательной функции проходит через точку .

4) Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как: .

Также функция не является периодической.

5) При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

6) Графики показательной функции при  и имеют вид:

Рассмотрим логарифмическую функцию: . Напомним, что по определению: . Рассмотрим её свойства:

;

.

Точки пересечения с осями.

(нули функции): : , так как логарифм от 1 по любому основанию равен 0 (любое положительное число в 0 степени равно 1). Значит, график логарифмической функции проходит через точку .

: :  – не существует, так как 0 не входит в область определения логарифмической функции.

Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как область определения не симметрична относительно 0 (то есть функция не определена при отрицательных значениях переменной).

Также функция не является периодической.

При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

Графики логарифмической функции при  и имеют вид:

Ветка. Обратные функции

Свойства логарифмической и показательной функции похожи. Давайте сравним.

Можем выделить:

1)  и  меняются местами.

2) графики похожи: более того, если их совместить, то мы видим, что они симметричны относительно прямой .

Встречали ли мы еще похожие функции (пары функций)?

Чем похожи эти пары функций?

 и  – обратные функции (как и  и )

Что это значит?

То есть .

Обратные функции обладают следующими свойствами:

1) ,

2) графики  и  симметричны относительно прямой .

Второе свойство может пригодиться при решении сложных уравнений:  только в тех точках, в которых , так как графики прямой и обратной функций могут пересекаться только на прямой .

Пример

Построить графики функций: а) , б) .

Решение

а)

Подставим несколько значений и учтем общий вид графика.

Т.к. основание степени , то функция растет.

б)

Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтем общий вид графика.

Т.к. основание логарифма , то функция убывает.

Тригонометрические функции

Рассмотрим функцию .

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная ;

4) Функция периодична с периодом .

Построим график функции .

Поскольку функция периодическая, то достаточно построить график на любом одном периоде, а затем размножить его в обе стороны (так значения функции повторяются).

Функция косинус и ее график

Теперь рассмотрим функцию .

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция четная . Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;

4) Функция периодична с периодом .

Построим график функции .

Функция тангенс и ее график

Перейдем к функции .

Основные свойства этой функции:

1) Область определения , кроме , где . У тангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают график с обеих сторон периода.

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены.

3) Функция нечетная .

4) Функция монотонно возрастает в пределах одного периода.

5) Функция периодична с периодом .

Построим график функции .

Функция котангенс и ее график

И завершаем рассмотрением функции .

Основные свойства этой функции:

1) Область определения , кроме , где . У котангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают функцию с обеих сторон периода.

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены.

3) Функция нечетная .

4) Функция монотонно убывает в пределах периода.

5) Функция периодична с периодом .

Построим график функции .

Ветка. Графики обратных тригонометрических функций

ГМТ

Мы уже говорили, что не любое графическое изображение на координатной плоскости задаёт функцию. По определению, функцией является зависимость, при которой допустимому значению переменной соответствует ровно 1 значение функции. Графически это означает, что любая вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке.

В случае если это условие не выполнено, то графическое изображение является ГМТ – геометрическим местом точек.График функции – это частный случай ГМТ, который удовлетворяет указанному выше условию.

Мы уже познакомились с одним примером ГМТ, не являющегося графиком функции: вертикальная прямая. Примеров ГМТ, не являющихся графиками функций, можно привести очень много.

В частности, любая замкнутая ломаная не является графиком функции.

Мы остановимся подробно на рассмотрении двух ГМТ, которые часто встречаются при решении задач

Рассмотрим уравнение: , .

Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Раскроем модули по определению.

,

,

,

,

Таким образом, в каждой из четырех четвертей мы получили отрезок прямой. Изобразим теперь полученное ГМТ.

Как видим, получили ромб (квадрат) с диагональю  и с центром в точке .

Выведем уравнение ещё одного часто встречающегося ГМТ – окружности. Пусть центр окружности совпадает с началом координат. По определению, окружность – это множество точек, равноудалённых от данной (центра). Тогда любая точка на окружности удалена от центра на расстояние . Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Его катеты равны для любой точки окружности: , . По теореме Пифагора получаем: . Любая точка окружности удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом : .

Из наших рассуждений следует, что координаты любой точки, которая лежит внутри окружности удовлетворяют неравенству: , а вне окружности: .

В случае если центр окружности не совпадает с началом координат, вывод уравнения окружности будет точно таким же.

Пусть центр окружности расположен в точке . Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Получаем, по теореме Пифагора: .

Пример

Изобразить ГМТ, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Решение

Это уравнение напоминает уравнение окружности, однако, на первый взгляд, мешают слагаемые , . Выделим полные квадраты: .

Как видим, получили уравнение окружности с центром в точке  и радиусом .

Преобразования графиков функций

Рассмотрим графики функций , .

Мы видим, что эти графики симметричны относительно оси .

Давайте теперь посмотрим на графики функций , .

Мы видим, что второй график можно получить из первого переносом вправо на 3 единицы. То есть для того чтобы построить график , нам необязательно искать координаты вершины, исследовать функцию, а достаточно график параболы перенести на 3 единицы вправо.

Рассмотрим преобразования графиков функций.

1) Изменение знака аргумента .

Рассмотрим произвольную точку графика . Чтобы значения этой функции совпали со значениями функции , необходимо взять . Таким образом, при противоположных значениях аргумента значения функций совпадают. Отсюда следует, что для того чтобы построить график функции , достаточно отразить график  относительно оси  (то есть поменять местами , оставив ).

2) Изменение знака функции .

Аналогично рассмотрим произвольную точку графика . При том же значении переменной координаты точки нового графика были следующими: . То есть при одном и том же значении переменной значения функции противоположны. Из этого следует, что для построения графика  достаточно отразить график  относительно оси  (то есть поменять местами , оставив ).

3) Добавление/вычитание числа из аргумента .

Рассмотрим произвольную точку графика . Чтобы получить то же значение для новой функции, необходимо взять точку, у которой: . Получаем: . То есть при вычитании из переменной  значение функции не изменяется. Из этого следует, что для построения графика  достаточно график  сдвинуть на  единиц влево относительно оси . Если , то, соответственно, вправо.

Можно рассуждать и по-другому. Если мы передвинем ось  на  вправо, то все . Значит, график .

4) Добавление/вычитание числа из функции .

Рассмотрим произвольную точку графика . Той же координате  соответствует точка второго графика: . То есть для того же значения переменной к значению функции прибавляется . Из этого следует, что для построения графика  достаточно график  сдвинуть на  единиц вверх относительно оси . Если , то, соответственно, вниз.

Можно рассуждать и по-другому. Если мы передвинем ось  на  вниз, то все . Значит, график .

5) Умножение/деление аргумента на число , .

Рассмотрим случай . Рассмотрим произвольную точку графика . Той же координате  соответствует точка второго графика: . Чтобы значения функций совпали, необходимо взять на втором графике точку с координатой . То есть для переменной, уменьшенной в  раз, функция не изменяется. Из этого следует, что для построения графика ,  достаточно график  сжать в  раз вдоль оси . Если , то, соответственно, нужно не сжать, а растянуть в  раз.

6) Умножение/деление функции на число , .

Рассмотрим случай . Рассмотрим произвольную точку графика . Той же координате  соответствует точка второго графика: . При том же значении переменной значение функции увеличилось в  раз. Из этого следует, что для построения графика ,  достаточно график  растянуть в  раз вдоль оси . Если , то, соответственно, нужно не растянуть, а сжать в  раз.

7) Модуль от аргумента .

Распишем модуль по определению: , то есть при неотрицательных  график функции совпадает с графиком исходной функции.

При  – при отрицательных получаем, что график необходимо отразить относительно  (справа налево). Получаем общий алгоритм: всё, что слева от , убрать, а всё, что справа, оставить и отразить влево.

8) Модуль от функции .

Распишем модуль по определению: , то есть при положительных значениях функции, график совпадает с графиком исходной функции.

При  – при отрицательных значениях функции получаем, что график необходимо отразить относительно  (снизу вверх).

Получаем общий алгоритм: всё, что сверху от , оставить, а всё, что снизу, убрать и отразить вверх.

Ветка.

Равенство возможно только при . То есть ту часть графика, которая расположена под осью , мы должны убрать.

Раскроем модуль по определению:  – то есть часть графика над осью оставляем.

, то есть часть графика над осью  необходимо также отразить вниз.

Обратим внимание, что в результате такого преобразования из графика функции мы получаем ГМТ, так как одному значению  соответствуют сразу два значения: .

Пример

Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение

а)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вправо на 1:

в)

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

Таким образом, мы получили ещё один способ построения графика квадратичной функции: выделить полный квадрат и получить график из параболы с помощью преобразований графиков.

г) 

Преобразование в одно действие типа .

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Можно выполнять построение следующим образом:

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на  вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

А можно было построить график прямой , затем построить , а затем .

Ветка. Арифметические действия с функциями

Мы рассмотрели свойства различных функций. Однако не сказали, какими будут свойства функции, которая, к примеру, является суммой/разностью или произведением/частным рассмотренных функций. Это связано с тем, что универсального алгоритма, позволяющего сказать по поведению функций , , как будет себя вести функция  или , нет.

Есть некоторые частные выводы, которые можно сделать.

Сумма/разность двух чётных или нечётных функций – снова чётная или нечётная функция соответственно.

Произведение двух чётных и двух нечётных функций – чётная функция, а произведение нечётной на чётную – нечётная.

Сумма двух монотонных функций – монотонная функция.

Но это частные случаи, поэтому для каждого конкретного случая необходимо проводить отдельное исследование. В качестве примеров построим графики функций: , , ; .

Отметим, что первые две функции – нечётные, третья и четвёртая – чётные.

Можно также сделать некоторые качественные выводы.

Например, для первых двух функций с увеличением по модулю  слагаемое  практически перестаёт влиять на значение функции, поэтому график функции будет всё больше походить на график . Если рассматривать в третьей функции  как коэффициент, то мы уже знаем, что график функции будет получаться из графика синуса растягиванием в  раз от оси . Поскольку  будет увеличиваться (если двигаться от 0 вправо), то график синуса будет всё сильнее растягиваться от оси .

Наконец, в четвёртой функции сама функция в точке 0 будет не определена, но можно доказать, что значения функции вблизи этой точки будут близки к 1. Если же  будет стремиться к бесконечности, то будет получаться дробь, знаменатель которой очень большой, а числитель лежит в пределах от -1 до 1, то есть функция будет стремиться к 0. Можно рассуждать и так же, как для третьей функции: только график надо сжимать в  раз к оси .

В результате получаем следующие графики.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели основные функции, их графики и свойства, а также преобразования графиков функций.

На следующем уроке мы начнём изучение производной.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Линейная функция и ее график (алгебра, 7 класс, раздел «Линейная функция»)

2. Свойства линейной функции y=kx+m и y=kx2 (k ≠ 0) (алгебра, 9 класс, раздел «Числовые функции») 

3. Квадратичная функция (алгебра, 11 класс, раздел «Повторение»)

4. Свойства квадратичной функции y=ax2+bx+c (алгебра, 9 класс, раздел «Числовые функции»)

5. Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения (алгебра, 11 класс, раздел «Степени и функции. Степенные функции»)

6. Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

7. Функция y=logax, ее свойства и график (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

8. Функция y=sinx, ее основные свойства и график (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

9. Функция y=cos t, её основные свойства и график (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

10. Функция y=tgx, ее свойства и график (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

11. Функция y=сtgx, ее свойства и график (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

12. Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x) (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

13. Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x) (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

14. Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)