28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)

Сочетания, размещения и перестановки

В вашем классе нужно выбрать старосту и заместителя старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Для определённости будем считать, что в классе 30 человек. Посчитать несложно: старосту можно выбрать 30 способами, и при каждом таком выборе останется 29 вариантов выбрать заместителя. Значит, всего вариантов выбора: . А если теперь в классе необходимо выбрать двух дежурных? На первый взгляд, ответ не изменится – ведь снова необходимо выбрать двух человек из 30.

Но давайте посмотрим: в нашем способе подсчёта пары (Иванов; Петров) и (Петров; Иванов) – разные. Действительно, ведь в предыдущей задаче нам было важно, кто из них староста, а кто – заместитель. При выборе дежурных получается, что мы каждую пару посчитали дважды. Значит, количество вариантов в 2 раза меньше, а именно: 435.

Давайте обсудим, почему получились разные ответы. В первом случае нам был важен порядок. Во втором – нет. Давайте сформулируем эти задачи более строго.

Предположим, у нас есть множество из  элементов. Нам необходимо посчитать, сколько существует способов выбрать из него  элементов ().

Рассмотрим два случая:

1) Порядок элементов важен (наборы  и  считаются разными – староста/зам.старосты).

2) Порядок элементов неважен (наборы  и  считаются одинаковыми – двое дежурных).

В первом случае такие комбинации называют размещениями, во втором – сочетаниями. Количество размещений обозначается , а количество сочетаний – .

Решение задачи про старосту и заместителя старосты подсказывает нам метод вычисления . Действительно, первый элемент можно выбрать  способами, второй –  способов (1 предмет уже выбран) и т.д., -й:  способами ( предметов уже выбраны).

Общее количество размещений: . Если вспомнить, что такое факториал:  (произведение натуральных чисел от 1 до ), то можно записать: .

Проверим для задачи про выбор старосты и заместителя старосты:

.

Рассмотрим частный случай задачи про размещение. Предположим, что . В этом случае мы находим количество размещений  элементов по  позициям с учётом порядка.

Такие размещения называются перестановками. Действительно, мы как бы переставляем все элементы множества и ищем количество таких перестановок. Количество перестановок обозначается . Из полученной формулы  Теперь мы можем выразить . Опять же будем использовать ту же идею, что и в задаче про двух дежурных.

Если бы нам был важен порядок, то количество сочетаний было бы равно количеству размещений: . Но порядок нам не важен. Значит, каждое сочетание из  элементов мы посчитали столько раз, сколько их можно переставить, то есть . Получаем, что количество размещений необходимо разделить на количество перестановок  элементов (так как каждое сочетание мы считали именно столько раз): . Мы получили формулу для количества сочетаний.

Из определения и рассмотренных примеров может показаться, что сочетания и размещения встречаются только в практических задачах на подсчёт количества различных комбинаций. Чтобы убедиться в том, что их применение шире, рассмотрим так называемый бином Ньютона: .

Раскроем скобки в квадрате суммы:

.

Аналогично раскроем скобки в кубе суммы:

Давайте проанализируем, как мы раскрываем скобки. Каждое слагаемое, которое мы получаем, состоит из 2 (3) множителей, взятых по одному из каждой скобки. Например,  соответствует тому случаю, когда из двух скобок был взят множитель , а из одной – . В результате, после приведения подобных слагаемых, у нас получилось 3 таких слагаемых. Но мы могли бы получить этот результат и не раскрывая скобок. Действительно, количество таких слагаемых – это количество способов выбрать из 3 скобок 2 множителя  (так как множителей всего два, то требовать, чтобы из оставшейся скобки был взят множитель , не нужно – это требование будет выполняться автоматически).

Поскольку порядок выбора множителей нам не важен (от перемены мест множителей произведение не меняется), то количество способов – это количество сочетаний: . Понятно, что это рассуждение можно обобщить для любой степени. То есть мы получаем, что . Таким образом, мы доказали формулу бинома Ньютона.

Если подставить вместо , то можно получить свойство биномиальных коэффициентов, а именно: . На самом деле задачу раскрытия скобок можно заменить следующей, более привычной нам, комбинаторной задачей.

Задача

Предположим, у нас есть  ящиков (каждый ящик соответствует скобке). В каждом ящике лежит один белый и один чёрный шар (, ). Из каждого ящика вытаскивается наугад один шар.

Наша задача – посчитать, сколько существует вариантов вытащить ровно  белых шаров. Это количество будет соответствовать количеству слагаемых вида , то есть будет равно соответствующему коэффициенту. Поскольку нас интересует только количество шаров, а не их порядок, то нам необходимо посчитать количество сочетаний, при которых из  мест  мест занимают белые шары. Получаем: .

Рассмотрим решение несложных комбинаторных задач.

Пример

Есть 8 различных конвертов и 4 различных марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

Решение

Количество вариантов выбора конверта – 8, а марки – 4, тогда количество вариантов выбора пары: .

Пример

В шахматном турнире участвовало 10 игроков, каждый из которых сыграл одну партию с каждым из остальных игроков. Сколько всего партий было сыграно?

Решение

Нам необходимо выбрать из 10 участников пару, при этом порядок не важен.

Пример

Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение

Нам необходимо на 5 мест расставить 5 книг, при этом книги не могут повторяться: . Можно рассуждать по-другому. Вариантов выбора первой книги у нас 5, второй – 4, так как одну книгу мы уже выбрали, третьей – 3, четвертой – 2, пятой – 1. Значит, количество вариантов выбора 5 книг: .

Пример

Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых различны и нечетны?

Решение

Нам подходят только нечетные цифры, то есть 1, 3, 5, 7, 9. Из них нам нужно выбрать тройки, при этом порядок важен, так как при перестановке цифр мы получаем новое число.

Можно рассуждать по-другому. Вариантов выбрать первую цифру у нас 5 (1, 3, 5, 7, 9), вариантов выбрать вторую цифру – 4, так как цифры не должны повторяться, а одну из них мы уже выбрали на первое место, третью – 3. Значит, количество вариантов выбора такой тройки: .

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Формулы для вычисления количества сочетаний, размещений, повторений.

Уметь

Определять, что именно просят найти в задаче – количество размещений, повторений или сочетаний.

Понимать

Сочетания, в отличие от размещений, не учитывают порядок выбранных элементов. Контрольный пример: староста и заместитель старосты – размещения; дежурные – сочетания.

Решение комбинаторных задач

Пример

В меню столовой есть 3 первых блюда, 6 вторых блюд и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, содержащий по одному блюду каждого вида?

Решение

Количество вариантов выбрать первое блюдо – 3, второе – 6, третье – 4, тогда количество вариантов выбора тройки: .

Пример

Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 6, 7, 8, 9, 0?

Решение

Всего у нас 5 цифр, посчитаем количество вариантов их перестановок, а затем вычтем из этого числа количество вариантов, в которых на первом месте стоит цифра 0. Число перестановок 5 цифр равно . Число вариантов, когда на первом месте стоит цифра 0, равно числу перестановок оставшихся 4 цифр, то есть . Тогда количество чисел, удовлетворяющих условию, . Можно рассуждать по-другому. Посчитаем количество вариантов выбора каждой цифры заданного числа. Первую цифру мы можем выбрать 4 способами (так как на первом месте не может стоять 0), вторую – снова 4 (так как одну цифру мы уже выбрали, но на втором месте уже может стоять и 0), третью – 3, четвертую – 2, пятую – 1. Тогда количество вариантов выбора такой пятерки: .

Пример

Телефонная станция обслуживает абонентов, номера телефонов которых содержат 7 цифр и начинаются с 257. На какое количество абонентов рассчитана станция?

Решение

Так как из 7 цифр первые три всегда 257, получаем, что количество абонентов зависит только от последних 4 цифр. Нам необходимо выбрать 4 цифры, при этом они могут повторяться (из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Вариантов выбрать первую цифру – 10, вторую – 10, третью – 10, четвертую – 10, тогда количество вариантов выбора четверки: .

Пример

Рассматриваются четырехзначные числа, в записи которых присутствуют две цифры 3, стоящие рядом, и по одному разу каждая из цифр 1 и 2. Сколько существует таких чисел?

Решение

Пусть сначала идет 1, а затем 2, тогда вариантов вставить две стоящие рядом 3 у нас три: перед 1, между 1 и 2, после 2. Аналогично, есть 3 варианта расстановки троек, если сначала идет 2, а затем 1. Итого получаем 6 вариантов. Такие числа можно просто выписать: 1233, 1332, 3312, 2133, 2331, 3321.

Решать подобные комбинаторные задачи мы ещё потренируемся при решении задач на нахождение вероятности в следующих разделах урока.

Вероятность события

Мы часто оцениваем вероятность того или иного события. Например, вызовет учитель к доске или нет.

Пойдёт ли днём дождь, если пасмурно с утра?

В результате нашего анализа мы принимаем различные решения: например, готовиться к уроку на завтра или не брать с собой зонт. Такие решения обычно принимаются на основании наблюдений (жизненного опыта). Например, наблюдения подсказывают нам, что учитель обычно не вызывает ученика два урока подряд. Поэтому если сегодня меня вызвали к доске, то вероятность этого же события на следующем уроке я буду оценивать как низкую. Но это не гарантирует, что меня действительно не вызовут повторно. Итак, мы можем выделить два важных понятия: опыт и его результат (событие). Например, при игре в монету опыт «бросили монету, посмотрели – что сверху». В этом опыте возможны события (их принято обозначать буквами): Г = «выпал герб» и Ц = «выпала цифра».

Изучение опытов с непредсказуемыми заранее последствиями (типа игры в монету) показало: между опытом и событием, которое может в нём произойти, объективно существует своеобразная вероятностная связь, её называют вероятностью события и характеризуют числом, которое проявляется только при многократном повторении опыта. Именно: если в опыте может произойти событие  с вероятностью , , и опыт независимо повторили  раз, то событие  происходит приблизительно  раз.

Эти наблюдения были сделаны в азартных играх: монета, кости, карты... Так, при игре правильной монетой приблизительно в половине бросков выпадал герб (многовековая практика игроков) и стали говорить «вероятность выпадения герба равна 1/2».

Аналогично и при игре в кости: приблизительно в 1/6 бросков правильной игральной кости выпадало 1 очко (2, 3, 4, 5 или 6 очков), и стали говорить: «вероятность выпадения 1 очка равна 1/6» и т.п.

Чтобы найти вероятность определённого события в определённом опыте, создано большое число методов её вычисления. Простейший из них – классическое определение вероятности события, в котором указывается, как надо вычислять вероятность события в простейшем классическом опыте.

События для наглядности изображаются фигурами на плоскости; событие и изображающая его фигура обозначаются одной буквой.

На рис. 1 изображены события  и , которые в опыте могут одновременно произойти (произошло и событие  и событие ), – общая их часть окрашена, она изображает событие, которое называют «пересечение событий  и », его записывают так: .

На рис. 2 события в опыте одновременно произойти не могут. Такие события называют несовместными. Рис. 3 иллюстрирует событие: «произошло хоть одно из этих событий» (или , или , или оба). Его называют «объединение событий  и » и обозначают .

В учебных упражнениях вероятности событий, по вероятностям которых вычисляются искомые вероятности, указываются неявно. Например, в задаче: «Лежат в ящике шары, одинаковые по форме и на ощупь, один из них отмечен. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность вынуть отмеченный шар?» – вероятности некоторых событий указаны условиями «одинаковые по форме и на ощупь» и «наудачу вынимают один шар».

Они говорят о том, что ни один из шаров не имеет большую вероятность быть вынутым, чем любой другой. Если шаров в ящике 20, то вероятность вынуть отмеченный шар равна .

То есть при решении задач мы будем вычислять вероятность события как отношение количества благоприятных исходов от общего количества возможных исходов: . В рассмотренном примере общее количество: , так как мы могли вытянуть любой из 20 шаров. А благоприятный исход только 1 – вытянуть отмеченный шар, то есть .

Для вычисления количества возможных исходов нам пригодятся изученные ранее сочетания, размещения и перестановки.

Рассмотрим примеры на нахождение вероятности по определению.

Пример

В ящике лежит 36 карточек, пронумерованных числами от 1 до 36. Какая вероятность того, что номер наугад взятой карточки будет кратным числу 9?

Решение

Вероятность по определению – это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов. Благоприятные исходы: карточки с числами 9, 18, 27, 36. Всего их 4. Общее число исходов – 36: .

Пример

Кидают две монеты. Какая вероятность того, что выпадет один орел и одна решка?

Решение

Все возможные исходы: ГГ, РГ, ГР, РР. Общее число исходов – 4. Благоприятные исходы: ГР, РГ, их количество – 2.

Пример

В коробке лежат 6 зеленых шариков и несколько синих. Сколько синих шариков в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шарик окажется зеленым, равна ?

Решение

Мы можем вытащить любой шарик, поэтому общее число исходов равно количеству шариков: З + С. Число благоприятных исходов (для события: наугад выбранный шарик окажется зеленым) равно количеству зеленых шариков: З.

По условию в коробке 6 зеленых шариков, а вероятность достать зеленый шарик равна :

Пример

Какая вероятность того, что при подбрасывании игрального кубика выпадет число, не кратное 3?

Решение

Общее число исходов равно 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Благоприятные исходы: 1, 2, 4, 5. Их количество равно 4.

Пример

Какая вероятность того, что наугад названное натуральное число окажется положительным?

Решение

Натуральными являются числа 1, 2, 3 … Все они являются положительными, значит, событие является достоверным, его вероятность равна 1.

Пример

Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число кратно числу 11?

Решение

Всего двузначных чисел: 90 (10, …, 99). Значит, общее число исходов равно 90. Благоприятные исходы: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Их количество – 9.

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Определение вероятности.

Уметь

Находить количество сочетаний, размещений и перестановок.

Понимать

То, что вероятность выпадения герба при бросании монеты равна , не гарантирует того, что при 4 бросках обязательно два раза выпадет герб, а 2 раза – решка. Это значит, что при увеличении количества бросков (до бесконечности) количество выпадений герба и решки будут приблизительно совпадать.

Свойства вероятности

Как мы уже сказали, вероятность – это число, которое может принимать значение от 0 до 1 включительно. Если вероятность события равна 0, то событие называется невозможным. Если вероятность равна 1, то событие называется достоверным. Например, то, что после вторника наступает среда, – это достоверное событие.

А вот то, что вы сдадите ЕГЭ на -10 баллов, – это невозможное событие.

Конечно, любое событие можно считать достоверным или невозможным до определённой степени (в пределах здравого смысла). Например, теоретически может выйти указ, который назначит среду днём перед вторником. А за неправильные ответы в ЕГЭ начнут вычитать баллы. Но с точки зрения нашего жизненного опыта и здравого смысла такие возможности мы отвергаем.

Очень важным свойством вероятности является следующее: если вероятность того, что событие произойдёт, равна , то вероятность того, что событие не произойдёт, равна . Действительно, если общее количество исходов равно сумме количеств благоприятных и неблагоприятных исходов: , поэтому .

Можно сформулировать более общее утверждение: если у события есть несколько возможных независимых друг от друга исходов, то сумма их вероятностей равна 1. В предыдущем свойстве было всего два исхода: произойдёт или не произойдёт.

Рассмотрим пример. Учитель хочет вызвать ученика из класса к доске. У этого события столько же исходов, сколько учеников в классе. При этом у кого-то вероятность быть вызванным меньше (отвечал на прошлом уроке) и т.п., но сумма вероятностей выхода всех учеников класса равна 1, так как кого-то учитель обязательно вызовет: .

Ещё одно важное свойство вероятности: если два события независимы (то есть результат происхождения одного не зависит от результатов другого), то вероятность их одновременного происхождения равна произведению вероятностей: . Действительно, если у одного события исходов , а у второго – , то всего возможных исходов у этой пары событий: . Аналогично благоприятными исходами будут только те пары, которые были благоприятными для обоих событий, то есть тоже . Значит, .

Рассмотрим примеры решения задач с использованием свойств вероятности.

Пример

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение

Вероятность того, что батарейка бракованная, . Вероятность того, что она исправна, . Так как исправность батареек – это события независимые, чтобы найти общую вероятность, нужно перемножить вероятность того, что первая батарейка исправна и вторая батарейка исправна: .

Пример

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение

Когда паук заползает в лабиринт, у него есть два пути: налево и направо. То есть вероятность того, что он пойдет налево,  и того, что он пойдет направо, тоже . Давайте представим, что он ползет налево. Он доходит до развилки, и у него есть тоже два варианта пути: выход  или ползти направо. То есть вероятность того, что он пойдет налево,  и того, что он пойдет направо, тоже . Дальше паук перемещается направо, потом опять направо и идет прямо. У него опять есть развилка: он может пойти прямо или может повернуть налево. Вероятность того, что он пойдет прямо или налево, . Предположим, что он двигается налево. Он приходит к еще одной развилке. Он может поползти к выходу  или к выходу . Вероятность того, что он поползет к выходу  или к выходу , . Значит, вероятность того, что паук придет к выходу , -  или 0,0625.

Пример

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение

Так как первая фабрика выпускает 45% стекол, то вероятность того, что стекло из первой фабрики . Соответственно, вероятность того, что мы купим стекла из второй фабрики . Так как первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, значит, вероятность того, что нам попадется бракованное стекло с первой фабрики, . Соответственно, вероятность того, что нам попадется бракованное стекло со второй фабрики, , так как (по условию) вторая фабрика выпускает 1% брака. Нам нужно найти вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Чтобы найти вероятность того, что бракованное число попадется с первой фабрики, нужно . Аналогично и со второй: чтобы найти вероятность того, что бракованное число попадется со второй фабрики, нужно . Тогда, чтобы найти вероятность того, что бракованное число попадется с первой фабрики, нужно . Здесь мы ставим знак плюс, так как события независимы. То есть с вероятностью 0,019 стекло будет бракованным.

Пример

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть не исправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение

Вероятность того, что автомат неисправен, . Значит, вероятность того, что он исправен, . Теперь нужно рассмотреть, какие варианты нам подойдут. Есть 4 варианта развития событий: два автомата исправны; один не исправен, второй исправен; первый исправен, второй не исправен; два не исправны. По условию нам нужно найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. То есть нам подходит три варианта событий. Мы знаем, что сумма вероятностей всех исходов событий равна 1. Поэтому, чтобы найти вероятность трех событий, нужно .

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Свойства вероятности.

Уметь

Находить вероятность по определению.

Понимать

Независимые события – это события, у которых исходы не зависят друг от друга.

Решение вероятностных задач

Пример

На четырех карточках числа 3, 4, 5 и 6. Какая вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным 10?

Решение

Среди всех произведений кратны 10 только  и . То есть количество благоприятных исходов 2.

Теперь найдем общее число исходов. Нам необходимо выбрать две любые карточки из набора, при этом порядок нам не важен, так как произведение для пары  и  будет одинаковым.

Тогда вероятность: .

Пример

В лотерее разыгрываются 16 денежных и 20 вещевых призов. Всего есть 1800 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет, не выиграть ни одного приза?

Решение

Общее число исходов равно количеству лотерейных билетов, 1800. Число благоприятных исходов равно количеству невыигрышных билетов: .

Пример

В коробке лежат 4 белых и 5 синих шариков. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди вынутых шаров окажется хотя бы один белый, была равна 1?

Решение

Так как вероятность того, что среди вытянутых шариков окажется хотя бы 1 белый,  равна 1, то среди вытянутых шариков обязательно должен быть 1 белый. Для выполнения этого условия нужно вытянуть 6 шаров.

Представим, что нам совсем не везет, тогда сначала мы достанем все синие и лишь потом белый. В таком случае, достав 6 шариков, мы точно достанем хотя бы один белый.

Пример

В ящике лежат 27 шаров, из которых 13 шаров – синие, а 7 шаров – красные. Из ящика наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет или синего, или красного цвета?

Решение

Найдем вероятность того, что шар будет синего цвета: . Теперь найдем вероятность того, что шар будет красного цвета: .

Так как нам необходимо, чтобы было выполнено или первое, или второе, то вероятности этих событий необходимо сложить:

.

Пример

Среди 100 деталей есть 28 деталей вида , 36 деталей вида , а остальные детали вида . Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет или вида , или вида ?

Решение

Найдем вероятность того, что деталь будет вида : . Теперь найдем вероятность того, что деталь будет вида : .

Так как нам необходимо, чтобы было выполнено или первое, или второе, то вероятности этих событий необходимо сложить: .

Можно рассуждать по-другому: найдем вероятность того, что условие не будет выполнено, то есть выбранная деталь будет не вида А и не вида В, а значит, деталь будет вида : . Тогда вероятность нашего события: .

Пример

Из двузначных чисел, кратных числу 3, наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет также кратным числу 15?

Решение

Общее число исходов равно количеству двузначных чисел, кратных 3: 12, 15, 18, 21, … 99. Найдем это количество. Они образуют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 12, и разностью, равной 3. По формуле -го члена а.п.:

Из этих чисел кратны 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, то есть 6 чисел, тогда вероятность: .

Пример

В соревнованиях по прыжкам в высоту среди десятиклассников участвуют 20 школьников. Семь из них учатся в 10А классе, восемь – в 10Б классе, а остальные – в 10В классе. Последовательность, в которой прыгают юные спортсмены, определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что школьник, который будет прыгать первым, является учеником 10В класса?

Решение

Общее число исходов равно общему количеству участников – 20. Число благоприятных исходов равно количеству участников 10В класса: .

Пример

В ящике лежат три карточки, на которых написаны буквы Д, О, М. Какова вероятность того, что если брать наугад по одной карточке, то они будут идти в такой последовательности, что образуется слово «дом»?

Решение

Вероятность того, что первая карточка будет с буквой Д: . Вероятность того, что вторая карточка будет О:  (так как нам нужно выбрать одну из двух оставшихся карточек). Вероятность того, что последней будет буква М, равна 1, так как это единственная оставшаяся карточка. Так как нам необходимо выполнение и первого, и второго, и третьего события одновременно, то их вероятности необходимо умножить: .

Можно рассуждать по-другому. Общее число исходов равно количеству перестановок трех букв: . Подходящий нам вариант расстановки только 1, поэтому .

Пример

Вероятность не выиграть в лотерею ни одного приза, купив один лотерейный билет, составляет 0,92. Сколько призов разыгрывается в лотерею, если выпущено 10000 лотерейных билетов?

Решение

Если вероятность не выиграть равно 0,92, то вероятность выиграть . По определению эта вероятность равна: .

количество призов

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели задачи на комбинаторику и теорию вероятности. На следующем уроке мы поговорим о задачах на элементы математической статистики.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Комбинаторные задачи (Алгебра, 9 класс, раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»)

2. Простейшие вероятностные задачи (Алгебра, 9 класс, раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»)

3. Экспериментальные данные и вероятности событий (Алгебра, 9 класс, раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»)

4. Сочетания и размещения (Алгебра, 11 класс, раздел «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности»)

5. Формула бинома Ньютона (Алгебра, 11 класс, раздел «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности»)

6. Случайные события и их вероятности. Свойства вероятностей (Алгебра, 11 класс, раздел «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности»)

7. Простейшие вероятностные задачи (Алгебра, 11 класс, раздел «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности»)