Тема: Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок: Решение задач на применение аксиом и их следствий (в параллелепипеде)
Напоминание аксиом стереометрии и теорем, которые следуют из них
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация аксиомы А1.
Рис. 1.
Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ:
(Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость 
, и притом только одна. Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Иллюстрация аксиомы А2.
Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой 
принадлежат плоскости (Рис. 2.).
Рис. 2.
Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую .
Аксиома 3 (А3).
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).
Иллюстрация аксиомы А3.
Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость 
. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости 
и плоскости . (Рис. 3.)
Рис. 3.
Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости и пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.
Повторение теорем, которые следуют из аксиом стереометрии.
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация теоремы 1.
Рис. 4.
Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость , которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость – единственная. Это можно записать таким образом:
единственная
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация теоремы 2.
Рис. 5.
Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом:
Теперь применим аксиомы 1, 2, 3 и теоремы 1, 2 для задач в параллелепипеде.
Решение задачи 1
Дан параллелепипед 
(Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.
По какой прямой пересекаются плоскости:
1) АВС и 
2) 
и 
3) 
и 
?
Рис. 6.
Решение:
1) Плоскость АВС – плоскость нижней грани. Плоскость – плоскость боковой грани. У них общая прямая DC, по ней эти плоскости пересекаются.
2) Плоскость – это плоскость задней грани. Плоскость – это плоскость грани 
. Они пересекаются по прямой 
. – это общая прямая плоскостей и .
3) Плоскость , можно обозначить как LAK. - плоскость передней грани 
. – это плоскость нижней грани. Они пересекаются по прямой АD. Прямая АD входит и в переднюю грань и в нижнюю грань 
.
Ответ: 1) DC, 2) , 3) АD.
Решение задачи 2
Дан параллелепипед (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.
Назовите три разные плоскости, которые пересекаются:
1) в точке А
2) в точке С
Напоминание: В вершине сходятся три плоскости, так как первые две плоскости пересекаются по прямой линии, вторые две плоскости пересекаются по второй прямой линии. Прямые пересекаются в точке. Значит, три плоскости могут пересекаться в одной точке.
Решение:
1) В точке А пересекаются плоскости АВС – плоскость нижней грани, плоскость 
– плоскость передней грани, плоскость 
– плоскость левой грани. Эти три плоскости пересекаются в точке А.
2) Какие плоскости пересекаются в точке С? Первая плоскость СВD, т.е. это плоскость нижнего основания, вторая плоскость 
и третья плоскость 
.
Ответ: 1) АВС; ; 2) СВD; ; .
Решение задачи 3
Дан параллелепипед (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.
По какой прямой пересекаются плоскости 
и 
?
Плоскость – это плоскость передней грани. Заметим, что в ней расположены и точка М, и точка N. Обе точки расположены в этой плоскости, значит, в этой плоскости по аксиоме расположена вся прямая МN. И вторая плоскость содержит прямую МN. Значит, прямая МN является линией пересечения двух этих плоскостей.
Ответ: MN
Итоги урока
Итак, мы рассмотрели применение аксиом стереометрии и следствие из них для решения задач в параллелепипеде. А именно: задач на расположение точек, прямых и плоскостей.
Эти сведения будут использованы для решения других задач в следующих уроках.
Список рекомендованной литературы
1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Obmir.ru (Источник).
2. Якласс (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Дан параллелепипед (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. По какой прямой пересекаются плоскости:
а) CDB и 
б) 
и 
в) 
и 
?
2. Дан параллелепипед (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:
а) точка N
б) точка D
в) точка B
3. Дан параллелепипед (рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Совпадают ли плоскости и ? Ответ обоснуйте.
4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
Задание 13, стр. 10.
