Решение типовой задачи, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания
Задача 1
Дан прямоугольный треугольный треугольник ABC (
). Гипотенуза 
см, катет 
см. Отрезок 
см, перпендикулярен плоскости (ABC). Найти длину вектора 
и угол между прямой SB и плоскостью (ABC). Также необходимо найти угол 
, найти угол и расстояние между прямыми BC и SA, найти величину двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1
Решение
см.
Угол между прямой SB и плоскостью (ABC) равен углу между прямыми SB и AB, так как AB – это проекция прямой SB на плоскость (ABC).
Рассмотрим 
: в нем угол 
, а катеты AB и SA равны (
см). Значит угол 
, так как этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.
Так как AB – это проекция прямой SB на плоскость (ABC) и наклонная перпендикулярна прямой в плоскости основания, то, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная также перпендикулярна этой прямой.
Поскольку прямая SA перпендикулярна всей плоскости (ABC), то она перпендикулярна и всем прямым, лежащим в плоскости, значит, угол между прямыми CB и SA равен 
.
Расстояние между скрещивающимися прямыми CB и SA – это длина отрезка, перпендикулярного обоим прямым. В данной задаче этот отрезок и его длина уже найдены – это 
см (так как он перпендикулярен CB и SA по условию).
Для нахождения двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC), необходимо в каждой плоскости найти прямую, перпендикулярную линии пересечения AS. Угол между найденными линиями и будет линейным углом двугранного угла. По условию SA перпендикулярна всей плоскости основания пирамиды, значит и ее ребра AC и AB тоже перпендикулярны SA. Значит: искомый двугранный угол равен 
.
Найдем :
.
Ответ: 
см; ; 
; угол между прямыми CB и SA равен , а расстояние между ними равно 12 см; 
.
Решение типовой задачи, где присутствует правильная пирамида
Задача 2
В правильной четырехугольной пирамиде, диагональ основания равна 
см, а двугранный угол при основании равен 
. Найти площадь полной поверхности пирамиды, угол между прямыми AC и SB и отрезок, характеризирующий расстояние между ними (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Решение
Правильная n-угольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а высота проецируется в его центр (центр вписанной и описанной окружности).
Возьмем точку M – середину AB. Треугольник ASB равнобедренный (так как у нас правильная пирамида), поэтому медиана SM является биссектрисой и высотой, и 
. 
и 
, значит, 
– двугранный угол при основании.
Найдем сторону квадрата в основании пирамиды:
см.
Площадь основания равна квадрату стороны: 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (
: по условию, катет 
см и OM – катет, лежащий против угла в 
, и соответственно равный половине гипотенузы. Отсюда 
см.
Площадь боковой поверхности равна: 
Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: 
.
Найдем угол между скрещивающимися прямыми AC и SB. SB – наклонная, а ее проекция на плоскость основания – OB. По свойствам квадрата, его диагонали пересекаются под прямым углом, значит, 
. По теореме о трех перпендикулярах, прямые AC и SB – перпендикулярны.
Проведем перпендикуляр 
. 
, так как AC перпендикулярна всей плоскости (BOD). То есть мы нашли отрезок, характеризующий расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Если потребуется его найти, то рассматривается прямоугольный треугольник SOB, в нем OH – высота к гипотенузе. Площадь этого треугольника равна 
и равна 
. Тогда из равенства площадей можно найти OH.
Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна 
, угол между прямыми AC и SB равен .
Выводы
Была рассмотрена одна типовая задача из контрольной работы, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Также была рассмотрена вторая типовая задача, где присутствует правильная пирамида.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Могут ли несколько граней треугольной пирамиды (больше одной) быть перпендикулярными основанию?
- Сколько пар скрещивающихся прямых в четырехугольной пирамиде?
- Какой угол между основанием и ребром пирамиды, если высота проецируется на середину ребра основания и равна его половине?
- Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы
? - В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC со стороной 5 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.
