Задача 2

В правильной четырехугольной пирамиде, диагональ основания равна см, а двугранный угол при основании равен . Найти площадь полной поверхности пирамиды, угол между прямыми AC и SB и отрезок, характеризирующий расстояние между ними (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Правильная n-угольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а высота проецируется в его центр (центр вписанной и описанной окружности).

Возьмем точку M – середину AB. Треугольник ASB равнобедренный (так как у нас правильная пирамида), поэтому медиана SM является биссектрисой и высотой, и . и , значит, – двугранный угол при основании.

Найдем сторону квадрата в основании пирамиды:

см.

Площадь основания равна квадрату стороны: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (: по условию, катет см и OM – катет, лежащий против угла в , и соответственно равный половине гипотенузы. Отсюда см.

Площадь боковой поверхности равна:

Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: .

Найдем угол между скрещивающимися прямыми AC и SB. SB – наклонная, а ее проекция на плоскость основания – OB. По свойствам квадрата, его диагонали пересекаются под прямым углом, значит, . По теореме о трех перпендикулярах, прямые AC и SB – перпендикулярны.

Проведем перпендикуляр . , так как AC перпендикулярна всей плоскости (BOD). То есть мы нашли отрезок, характеризующий расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Если потребуется его найти, то рассматривается прямоугольный треугольник SOB, в нем OH – высота к гипотенузе. Площадь этого треугольника равна и равна . Тогда из равенства площадей можно найти OH.

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна , угол между прямыми AC и SB равен .

Выводы

Была рассмотрена одна типовая задача из контрольной работы, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Также была рассмотрена вторая типовая задача, где присутствует правильная пирамида.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник).
Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

Могут ли несколько граней треугольной пирамиды (больше одной) быть перпендикулярными основанию?
Сколько пар скрещивающихся прямых в четырехугольной пирамиде?
Какой угол между основанием и ребром пирамиды, если высота проецируется на середину ребра основания и равна его половине?
Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?
В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC со стороной 5 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.