Правильный тетраэдр; угол и расстояние между противолежащими рёбрами

1. Введение, условие задачи

Определение.

Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если прямая а проходит через плоскость  в точке, не принадлежащей прямой b, то прямые а и b – скрещивающиеся.

2. Некоторые факты о скрещивающихся прямых

Известный факт.

В пирамиде противоположные ребра являются скрещивающимися прямыми.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми а и b, необходимо из произвольной точки пространства провести прямые  и , угол между прямыми  и  будет углом между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, следуем алгоритму:

Найти плоскость Получить проекцию прямой а на найденную плоскость – получить точку А (прямая спроектируется в точку, т.к. плоскость ей перпендикулярна) Спроектировать прямую b на плоскость , получить прямую Переходим к планиметрической задаче – найти расстояние от точки до прямой: Опускаем перпендикуляр из точки А на прямую b’ – AB, он и будет искомым расстоянием.

Чтобы найти месторасположение расстояния (перпендикуляра) между исходными скрещивающимися прямыми:

Из точки В проводим прямую, параллельную прямой а Из полученной точки Р опускаем перпендикуляр на прямую а – получаем точку Q Отрезок PQ и есть искомое расстояние Отрезок PQ – единственный общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым такой, что его концы расположены на скрещивающихся прямых.

3. Решение задачи по теме "Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми в тетраэдре"

Задача 1

В правильном тетраэдре все ребра равны 1 см. Найти угол и расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.

Решение:

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.

Пусть  – середина АВ, М – середина DC.  как апофема грани;  как медиана и высота треугольника АВС. Так, . Прямая АВ проектируется на плоскость  в точку . Отметим, что плоскость  является плоскостью симметрии данной пирамиды и при симметрии относительно этой плоскости пирамида переходит сама в себя.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 "Правильный тетраэдр"

Прямая DС принадлежит плоскости , поэтому она проектируется сама в себя.

Требуется найти расстояние от точки  до прямой .

Рассмотрим треугольник , в нем  и  – апофемы граней ABD и АВС правильного тетраэдра, отсюда треугольник  равнобедренный. Медиана  треугольника будет одновременно высотой (по свойству равнобедренного треугольника), это и будет искомое расстояние.

Апофема данной пирамиды является высотой в равностороннем треугольнике, например треугольнике АВС, она легко находится из прямоугольного треугольника :

Вернемся к треугольнику . Найдем высоту  из прямоугольного треугольника . В нем катет ; гипотенуза . По теореме Пифагора:

В данной задаче легко найти угол между скрещивающимися прямыми. Одна из них перпендикулярна плоскости , значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, а вторая скрещивающаяся прямая как раз лежит в этой плоскости. Вывод: рассматриваемые скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

Перпендикулярность данных скрещивающихся прямых можно доказать иначе: пусть точка О – основание высоты DO пирамиды. СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах).

Итак, была рассмотрена обобщенная задача о правильном тетраэдре, подобная задачам из ЕГЭ, кроме того, мы вспомнили важные геометрические факты о скрещивающихся прямых и показали их практическое применение.

 

Список литературы по теме "Правильный тетраэдр, свойства, площадь"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Viripit.ru (Источник).
2. Ege-study.ru (Источник).
3. 2mb.ru (Источник).

 

Домашнее задание по теме "Правильный тетраэдр", "Площадь тетраэдра"

1. Задача 1: в правильной пирамиде DABC сторона основания равна , боковое ребро равно . Найти расстояние и угол между скрещивающимися прямыми АВ и DC.
2. Задача 2: найдите угол между двумя ребрами правильного тетраэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.
3. Задача 3: в правильном тетраэдре ABCD ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС перпендикулярно ребру AD.
4. Задача 4: от каждой вершины тетраэдра с ребром 2 отсекают тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?