Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое ребро АА₁ образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС. Докажите, что

a) BC ⊥ AA₁;

b) грань ВВ₁С₁С – прямоугольник.

Рис. 8

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма.

АВ = ВС = АС,

∠А₁АВ = ∠А₁АС,

∠А₁АВ < 90°.

Доказать:

a) BC ⊥ AA₁;

b) грань ВВ₁С₁С – прямоугольник.

Рис. 9

Доказательство:

а) Проведём перпендикуляр А₁О к плоскости АВС. Из точки О опустим перпендикуляры ОМ к АВ и OL к АС.

А₁О - перпендикуляр к плоскости АВС. ОМ – проекция наклонной А₁М на плоскость АВС. Так как проекция ОМ перпендикулярна прямой АВ из плоскости АВС, то и наклонная А₁М перпендикулярна прямой АВ (по теореме о трех перпендикулярах).

ОL – проекция наклонной А₁L на плоскость АВС. Так как проекция ОL перпендикулярна прямой АC из плоскости АВС, то и наклонная А₁L перпендикулярна прямой АC(по теореме о трех перпендикулярах).

Получаем, что треугольники А₁АМ и А₁АL – прямоугольные. В этих треугольниках гипотенуза АА₁ – общая и углы ∠А₁АВ и∠А₁АС равны. Значит, треугольники А₁АМ и А₁АL равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников имеем: АМ = АL и А₁М = А₁L.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АОМ и АОL. Гипотенуза АО общая, катеты АМ и АL равны. Из равенства треугольников получаем равенство углов: ∠ОАМ = ∠ОАL.

Так как ∠ОАМ = ∠ОАL, то АО – биссектриса. Треугольник АВС – равносторонний, значит, АО - и биссектриса, и медиана, и высота. То есть прямая ВС из плоскости треугольника АВС перпендикулярна АО, а АО – это проекция наклонной АА₁. Значит, прямая ВС и АА₁ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.

б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что прямая ВС перпендикулярна одному боковому ребру, значит прямая ВС перпендикулярна и остальным боковым ребрам, ВС ⊥ ВВ₁, ВС ⊥ СС₁. А это означает, что параллелограмм ВВ₁С₁С является прямоугольником, что и требовалось доказать.