Решение задач по теме "Призма"

Тема: Многогранники

Урок: Решение задач по теме «Призма»

Тема и цели урока

На данном уроке будет рассмотрена тема «Решение задач по теме “Призма”».

Повторение определений

Определение. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 1). Ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

Рис. 1

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.

Рис. 2

Повторение площади поверхности призмы

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

S_полн = S_бок + 2S_осн

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок = Р_осн ∙ h

Задача 1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Рис. 3

Дано: AD ∥ BC, AB = CD,

AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см,

АА₁ ⊥ АВС, АА₁ = 10 см. (рис. 4)

Найти: S_бок

Рис. 4

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см,  (см).

Рис. 5

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см²

Задача 2

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство проведём на примере треугольной призмы.

Рис. 6

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁. Построим плоскость перпендикулярного сечения. На ребре ВВ₁ выберем точку К (рис. 7). Через точку К можно проведем перпендикуляр KL в плоскости этой грани АА₁В₁В к ребру ВВ₁. Этот перпендикуляр будет перпендикуляром и к АА₁, так как прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны..

Теперь проведем перпендикуляр КМ перпендикулярно ребру ВВ₁ в плоскости грани ВВ₁С₁С.

Получаем, что боковое ребро ВВ₁ перпендикулярно двум пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM. Значит, ВВ₁ - перпендикуляр к плоскости KLM.

То есть, построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. Надо доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению периметра перпендикулярного сечения KLM на боковое ребро ВВ₁. То есть, имеем следующую задачу.

Рис. 7

Дано: АВСА₁В₁С₁ – наклонная призма,

ВВ₁ ⊥ KLM.

Доказать:

Доказательство:

Любая боковая грань призмы  – это параллелограмм. Рассмотрим грань АВВ₁А₁. KL – это высота параллелограмма АВВ₁А₁. Поэтому площадь параллелограмма АВВ₁А₁ записывается следующим образом:

Аналогично, , .

В призме все боковые ребра равны, АА₁ = ВВ₁ = СС₁. Запишем, чему равна площадь боковой поверхности.

Мы показали, что  . Задача доказана.

Задача 3

Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое ребро АА₁ образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС. Докажите, что

a) BC ⊥ AA₁;

b) грань ВВ₁С₁С – прямоугольник.

Рис. 8

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма.

АВ = ВС = АС,

∠А₁АВ = ∠А₁АС,

∠А₁АВ < 90°.

Доказать:

a) BC ⊥ AA₁;

b) грань ВВ₁С₁С – прямоугольник.

Рис. 9

Доказательство:

а) Проведём перпендикуляр А₁О к плоскости АВС. Из точки О опустим перпендикуляры ОМ к АВ и OL к АС.

А₁О  - перпендикуляр к плоскости АВС. ОМ – проекция наклонной А₁М на плоскость АВС. Так как проекция ОМ перпендикулярна прямой АВ из плоскости АВС, то и наклонная А₁М перпендикулярна прямой АВ (по теореме о трех перпендикулярах).

ОL – проекция наклонной А₁L на плоскость АВС. Так как проекция ОL перпендикулярна прямой АC из плоскости АВС, то и наклонная А₁L перпендикулярна прямой АC(по теореме о трех перпендикулярах).

Получаем, что треугольники А₁АМ и А₁АL – прямоугольные. В этих треугольниках гипотенуза АА₁ – общая и углы ∠А₁АВ и∠А₁АС равны. Значит, треугольники А₁АМ и А₁АL равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников имеем: АМ = АL и А₁М = А₁L.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АОМ и АОL.  Гипотенуза АО общая, катеты АМ и АL равны. Из равенства треугольников получаем равенство углов: ∠ОАМ = ∠ОАL.

Так как ∠ОАМ = ∠ОАL, то АО – биссектриса. Треугольник АВС – равносторонний, значит, АО - и биссектриса, и медиана, и высота. То есть прямая ВС из плоскости треугольника АВС перпендикулярна АО, а АО – это проекция наклонной АА₁. Значит, прямая ВС и АА₁ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.

б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что прямая ВС перпендикулярна одному боковому ребру, значит прямая ВС перпендикулярна и остальным боковым ребрам, ВС ⊥ ВВ₁, ВС ⊥ СС₁. А это означает, что параллелограмм ВВ₁С₁С является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Задача 4

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Рис. 10

Дано: ABCD – квадрат,

АВ = а, АА₁⊥ АВС.

∠(АС₁, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС₁;

б) ∠(АС₁, АD₁C₁);

в) S_бок

Решение:

а) ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD  по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC – это угол между прямой  АС₁  и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С₁АС, значит, ∠С₁АС = 45°. Так как треугольник С₁АС прямоугольный, то и угол АС₁С равен 45°. Значит, треугольник С₁АС – равнобедренный. Значит, СС₁ = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС₁С находим по теореме Пифагора АС₁.

Ответ: 2а.

б) Прямая С₁D₁ перпендикулярна всей плоскости АDD₁. Угол между прямой АС₁ и гранью АDD₁ - это угол между прямой АС₁ и её проекцией АD₁ на плоскость АDD₁. Значит, искомый угол - ∠С₁АD₁.

Прямая С₁D₁ перпендикулярна всей плоскости АDD₁, а значит, и прямой АD₁. Найдем ∠С₁АD₁ из прямоугольного треугольника С₁АD₁.

Значит, ∠С₁АD₁ = 30°.

Ответ: 30°.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Призма». На следующем уроке мы перейдём к изучению пирамиды.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Физ/мат класс (Источник).
2. 5klass.net (Источник).
3. Ppt4web.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Что можно утверждать о призме, все боковые грани которой – квадраты?
2. Докажите, что не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер.
3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
4. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь поверхности призмы.