Задача 1.

Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В₂ (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А=12 см, АВ₁=5 см.

б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см. АА₁=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА₂=3k=3∙6=18, т.е. АА₂=18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА₂= 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂= k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА₂ состоит из длин двух отрезков: АА₂=АА₁+ А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит, см.

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

см.

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.