Свойства параллельных плоскостей

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и  и плоскость  , которая пересекает плоскости  и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости  и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Рис. 3.

Параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – В₁С₁. По первому свойству, линии пересечения ВС и В₁С₁ параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ₁С₁ подобны. Получаем:

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости  и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В₂ (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А=12 см, АВ₁=5 см.

б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см. АА₁=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА₂=3k=3∙6=18, т.е. АА₂=18 см.

Две параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

  см.

Ответ: АА₂ = 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂ = k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА₂ состоит из длин двух отрезков: АА₂=АА₁+ А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит,  см.

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

 см.

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

2. Шпаргалки (Источник)

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича (Источник)

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Точка О – общая середина каждого из отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁, которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29