Построить сечение параллелепипеда AD₁ плоскостью Р₁Р₂Р₃_,где (рис. 6).

Рис. 6.

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным. И соответственно, площадь сечения параллелепипеда нужно было бы считать по разным формулам.

Решение:

1 способ (рис. 7)

Рис. 7.

Соединим точки Р₁и Р₂ и получим прямую Р₁Р₂ – линию пересечения плоскости АВВ₁ и секущей плоскости.

Соединим точки Р₃и Р₂ и получим прямую Р₃Р₂ – линию пересечения плоскости СВВ₁ и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости АDD₁ и BCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую Р₁S₁ параллельно Р₃Р₂, .

Если две параллельные плоскости АВВ₁ и DCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую P₃S₂ параллельно P₁P₂, .

Соединим точки S₁ и S₁. Пятиугольник Р₁Р₂Р₃S₂S₁- искомое сечение.

2 способ (рис. 8)

Рис. 8.

Соединим точки Р₁и Р₂ и получим прямую Р₁Р₂ – линию пересечения плоскости АВВ₁ и секущей плоскости. Продлим прямые Р₁P₂ и АВ до их пересечения в точке Q₁.

Соединим точки Р₃и Р₂ и получим прямую Р₃Р₂ – линию пересечения плоскости СВВ₁ и секущей плоскости. Продлим прямые Р₃P₂ и ВС до их пересечения в точке Q₂.

Точки Q₁ и Q₂лежат в плоскости АВС. Соединим точки Q₁и Q₂. Получаем .

Соединим точки Р₁и S₁, Р₃ и S₂. Пятиугольник Р₁Р₂Р₃S₂S₁- искомое сечение.