Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Тема урока

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде».

Повторение свойств параллелепипеда

Рассмотрим параллелепипед АВСDА₁B₁C₁D₁ (рис. 1). Вспомним его свойства.

Рис. 1. Свойства параллелепипеда

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы АВСD и А₁B₁C₁D₁ равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A₁D₁ = B₁C₁ (рис. 2).

Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD₁ и B₁D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

Рис. 3.

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Задача на сечение параллелепипеда

Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА₁B₁C₁D₁ и точки M, N, K на ребрах AA₁, A₁D₁, A₁B₁соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA₁D₁ и в секущей плоскости. Значит, MN – линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.

Рис. 4.

Задача 1 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда AD₁ плоскостью А₁В₁М_, где .

Решение (см. рис. 5)

Рис. 5.

1 способ

Соединим точки А₁ и М. Эти точки лежат одновременно в плоскости AA₁D₁ и в секущей плоскости. Значит, А₁М – линия пересечения этих плоскостей.

Если две параллельные плоскости АВВ₁ и DCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую MN параллельно А₁В₁, . Соединим точки В₁ и N. A₁B₁NM - искомое сечение. Заметим, что A₁B₁NM – параллелограмм. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда, нужно найти площадь полученного параллелограмма.

2 способ

Соединим точки А₁ и М.

Если две параллельные плоскости АDD₁ и BCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую B₁N параллельно А₁M, . Соединим точки M и N. A₁B₁NM - искомое сечение.

Задача 2 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда AD₁ плоскостью Р₁Р₂Р_3, где  (рис. 6).

Рис. 6.

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным. И соответственно, площадь сечения параллелепипеда нужно было бы считать по разным формулам.

Решение:

1 способ (рис. 7)

Рис. 7.

Соединим точки Р₁и Р₂ и получим прямую Р₁Р₂ – линию пересечения плоскости АВВ₁ и секущей плоскости.

Соединим точки Р₃и Р₂ и получим прямую Р₃Р₂ – линию пересечения плоскости СВВ₁ и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости АDD₁ и BCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую Р₁S₁ параллельно Р₃Р₂, .

Если две параллельные плоскости АВВ₁ и DCC₁ рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую P₃S₂ параллельно P₁P₂, .

Соединим точки S₁ и S₁. Пятиугольник Р₁Р₂Р₃S₂S₁- искомое сечение.

2 способ (рис. 8)

Рис. 8.

Соединим точки Р₁и Р₂ и получим прямую Р₁Р₂ – линию пересечения плоскости АВВ₁ и секущей плоскости. Продлим прямые Р₁P₂ и АВ до их пересечения в точке Q₁.

Соединим точки Р₃и Р₂ и получим прямую Р₃Р₂ – линию пересечения плоскости СВВ₁ и секущей плоскости. Продлим прямые Р₃P₂ и ВС до их пересечения в точке Q₂.

Точки Q₁ и Q₂лежат в плоскости АВС. Соединим точки Q₁и Q₂. Получаем .

Соединим точки Р₁и S₁, Р₃ и S₂. Пятиугольник Р₁Р₂Р₃S₂S₁- искомое сечение.

Задача 3 Построить сечение параллелепипеда

Изобразите параллелепипед АВСDА₁B₁C₁D₁ и отметьте точку М грани АА₁В₁В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно:

а) плоскости основания ABCD

б) плоскости BDD₁.

Решение:

а) Заметим, что секущая плоскость и плоскость АВС пересекаются третьей плоскостью АВВ₁. Значит, линии пересечения параллельны. Поэтому через точку М проведем прямую М₁М₂ параллельно АВ (рис. 9),  , . М₁М₂– это линия пересечения секущей плоскости и грани АВВ₁А₁.

Проведем прямую М₂М₃ параллельно ВС,  .

Проведем прямую М₃М₄ параллельно CD,  .

Соединим точки М₁ и М₄. М₁М₂М₃М₄ – искомое сечение.

 

Рис. 9.

б) Плоскость BDD₁ и секущая плоскость рассекаются третьей плоскостью АВВ₁ по параллельным прямым. Поэтому через точку М проведем прямую N₁N₂ параллельно прямой ВВ₁, .

Проведем прямую N₂N₃ параллельно ВD,  .

Проведем прямую N₁N₄ параллельно B₁D₁,  .

Соединим точки N₃ и N₄. N₁N₂N₃N₄ – искомое сечение.

Рис. 10.

Задача 4 Построить сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда AD₁ плоскостью ACM_, где . Определите вид полученного сечения.

Решение: (рис. 11)

Параллельные плоскости АВСD и А₁B₁C₁D₁  рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку М нужно провести прямую NK параллельно АС, .

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

Рис. 11.

Задача 5 Построить сечение куба

Ребро куба равно а.

1) Постройте сечение куба плоскостью ACN, где N – середина ребра A₁D₁ (рис. 12).

Рис. 12. Построить сечение куба

Решение:

Точки А и С лежат одновременно и в секущей плоскости, и в плоскости АВС. Значит, АС – линия пересечения этих плоскостей.

Параллельные плоскости АВСD и А₁B₁C₁D₁  рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку N нужно провести прямую NK параллельно АС,  (рис. 13).

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

Заметим, что NK – средняя линия треугольника A₁D₁C₁.

Рис. 13.

2) Найдите периметр сечения ANKC.

По условию, ребро куба равно а (рис. 14). Значит, диагональ .

Найдем длину отрезка NK: , так как NK – средняя линия треугольника A₁D₁C₁. То есть.

AN = KC, так как треугольники AA₁N и CC₁K равны.

Найдем AN из прямоугольного треугольника AA₁N. По теореме Пифагора  .

Вычислим периметр:

Ответ: .

Рис. 14.

Задача 6

По рисунку (рис. 15) найти точку пересечения прямой MN () и плоскости АВС параллелепипеда AD₁.

Рис. 15.

Решение:

Рассмотрим плоскость АСС₁А₁. В этой плоскости лежит прямая NM и прямая AC. Эти прямые не параллельны. Найдем точку пересечения прямых NM и AC. Обозначим точку пересечения Q (рис. 16).

Точка Q лежит на прямой NM и на прямой АС, а значит и в плоскости АВС. Мы нашли след прямой NM на плоскости АВС. Точка Q – искомая.

Рис. 16. 

Задача 7

Построить сечение параллелепипеда AD₁ плоскостью MNP_, где  (рис. 17).

Рис. 17.

Решение:

Найдем точку пересечения прямой NM и плоскости АВС (см. зад. 6). Обозначим эту точку Q (рис. 18).

Соединим точки Q и Р, так как эти точки лежат одновременно и в плоскости сечения и в плоскости АВС. Получим точки пересечения прямой QР и ребер AD и DC – точки S₁и S₂ соответственно, .

Соединим точки S₁ и N, S₂ и M.

Проведем S₃M параллельно S₁N, .

Проведем S₄N параллельно S₂M, .

Соединим точки S₃ и S₄. S₁S₂MS₃S₄N – искомый шестиугольник.

Рис. 18.

Итоги урока по теме "Сечение параллелепипеда", "Площадь сечения параллелепипеда"

Итак, мы вспомнили основные свойства параллелепипеда и решили серию типовых задач на построение сечений в параллелепипеде и посчитали периметр и площадь параллелепипеда.

 

Список рекомендованной литературы по теме "Параллелепипед", "Сечение параллелепипеда", "Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник)

2. Егэ по математике (Источник)

3. КакПросто (Источник)

4. Myshared.ru (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание: построить сечение параллелепипеда, посчитать периметр и площадь параллелепипеда

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50                       

2. Дан параллелепипед АВСDА₁B₁C₁D₁. М и N – середины ребер DC и A₁B₁.

а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ₁С₁С.

б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ₁С₁

3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ВС₁ и середину М ребра DD₁.