а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.

б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.

в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен𝜑.

Рис. 4.

а) Построение:

1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ, .

2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD, .

3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC, .

4) Проведем прямую LP.

5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку.Значит, MNLP – искомое сечение.

б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.

в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо 𝜑, либо π – 𝜑.