Двугранный угол

Угол на плоскости

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча – ОВ и ОА.

Определение. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

 рад.

Получаем,  рад. (). Тогда,

Двугранный угол

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница – а. Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β – это грани двугранного угла.

Прямая а – это ребро двугранного угла.

Измерение двугранного угла

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.

 – линейный угол двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О₁ на прямой а. Построим линейный угол соответствующий точке О, т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О₁ проведем два перпендикуляра ОА₁ и ОВ₁ к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А₁О₁В₁.

Лучи О₁А₁ и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а.

Аналогично, лучи О₁В₁ и ОВ сонаправлены, значит, ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁ как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Свойство линейного угла

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать: а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство:

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ, значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ, что и требовалось доказать.

Виды двугранных углов

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

- Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

- Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7.   Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

Задача 1

АВСD – тетраэдр.

1.      Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение:

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВD и АВС (рис. 9).

Проведем прямую DН перпендикулярно плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ,М – основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ.

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.

Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.

Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: DАВС, где

АВ – ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Задача 2

В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение:

Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, треугольник AВC – равносторонний, ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

 

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Webmath.exponenta.ru (Источник).
4. Tutoronline.ru (Источник).

 

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВСD – тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) ВD                б) DС.

АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Постройте линейный угол двугранного угла А₁АВС с ребром АВ. Определите его градусную меру.