Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение типовых задач на

перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)

Тема урока

На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две прямые p и q, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рис. 1

Стандартный прием

Пусть нам нужно доказать перпендикулярность двух прямых а и m.

Доказательство можно осуществить следующим образом. Нужно подыскать такую плоскость, которая проходит через прямую m и перпендикулярна прямой а.

Конечно, в каждом случае, в каждой конкретной задаче это делается по-разному. Но, общий прием такой: надо найти две прямые р и q, которые пересекаются и каждая из них перпендикулярна прямой а, и тогда плоскость α, которая проходит через прямые р и q, будет перпендикулярна прямой а.

Тогда получаем: прямая m лежит в плоскости α, плоскость α перпендикулярна прямой а. Так как прямая а перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна любой прямой из плоскости α, в том числе и нужной прямой m. 

Задача 1

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90° (рис. 2). Прямая ВD перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что прямая СD перпендикулярна прямой АС. 

Дано: В ΔАВС  ∠А + ∠В = 90°

 ВD ⊥ АВС

Доказать: СD ⊥ АС

Рис. 2

Доказательство:

Так как ∠А + ∠В = 90, то ∠АСВ = 90°.

Итак, прямая АС перпендикулярна прямой ВС, прямая АС перпендикулярна прямой ВD, т.к. ВD перпендикулярна по условию плоскости АВС. Значит, прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся в точке В прямым из плоскости ВСD.

Получаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости ВСD(по признаку), а значит, и прямой СD, так как , что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Рис. 3

Дано: АВСD – параллелограмм.

МА = МС, МВ = МD. 

Доказать: ОМ ⊥ АВС 

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АМС. По условию треугольник АМС равнобедренный.

По свойству параллелограмма О - середина АС, т.е. МО – медиана в треугольнике АМС. Медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой, получаем, что прямая ОМ перпендикулярна прямой АС.

Рассмотрим треугольник ВМD. По условию треугольник ВМD равнобедренный. Точка О – середина ВD. Значит, МО – медиана, а значит, и высота, т.е. прямая МО перпендикулярна прямой ВD.

Получаем, что прямая МО перпендикулярна двум пересекающимся прямым АС и ВD из плоскости АВС, значит, прямая МО перпендикулярна плоскости АВС (по признаку), что и требовалось доказать.

Задача 3

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 4). Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО.

Рис. 4

 Дано: АВСD – квадрат.

 АМ ⊥ АВС. 

Доказать: ВD ⊥ АМО. 

Доказательство:

Прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата (диагонали квадрата перпендикулярны).

Прямая ВD также перпендикулярна прямой АМ, потому что АМ перпендикулярна плоскости квадрата, а значит, и прямой ВD.

Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и АС из плоскости АМО. Следовательно, прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО по признаку, что и требовалось доказать.

Задача 4

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ (рис. 5). Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90°, МВ = m, АВ = n. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата.

Рис. 5

Дано: АВСD – квадрат.

∠МВА = ∠МВС = 90°

МВ = m, АВ = n. 

Найти: МА, МВ, МС, МD 

Решение:

Треугольники МВА и МВС прямоугольные. Катет МВ общий, АВ = ВС (так как стороны квадрата равны). Треугольники МВА и МВС равны (по двум катетам). Значит, и гипотенузы их равны. Найдем их длину по теореме Пифагора:

Прямая МВ перпендикулярна прямой АВ и прямой ВС из плоскости АВС (по условию). Следовательно, прямая МВ перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС. Значит, прямая МВ перпендикулярна прямой ВD. Получаем, что угол МBD – прямой, а значит, треугольник МBD прямоугольный. Найдем гипотенузу МD:

 

Ответ: , , MB = m.

Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на перпендикулярность прямой и плоскости. На следующем уроке мы перейдем к теореме о трех перпендикулярах.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. СССР (Источник)

2. Obmir.ru (Источник)

3. Сайт репетитора по математике(Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Дана окружность с центром в точке О. Прямая МО перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая МО перпендикулярна любому радиусу окружности.

3. В треугольнике АВС проведена высота СН. Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Перпендикулярна ли прямая СН плоскости АМВ?

4. Прямая МА перпендикулярна плоскости квадрата АВСD. Найдите длину отрезков МС, MB, MD, если сторона квадрата равна а, АМ = b.