Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q. Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС.

Рис. 1.

Пусть точка О – точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О. Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l, параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ, причем ОА = ОВ, то есть точка О – середина отрезка АВ. Проведем прямую PL, .

Рис. 2.

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Р лежит на прямой р. Значит, РА = РВ.

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Q лежит на прямой q. Значит, QА = QВ.

Треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам (РА = РВ, QА = QВ, РQ – общая сторона). Значит, углы АРQ и ВРQ равны.

Треугольники АPL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АРL = ∠ВРL, РА = РВ, PL – общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL.

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ.

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.