Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Тема урока

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Напоминание определения перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q. Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС.

Рис. 1.

Пусть точка О – точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О. Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l, параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ, причем ОА = ОВ, то есть точка О – середина отрезка АВ. Проведем прямую PL, .

Рис. 2.

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия),  (по построению). Значит, р – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Р лежит на прямой р. Значит, РА = РВ.

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия),  (по построению). Значит, q – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Q лежит на прямой q. Значит, QА = QВ.

Треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам (РА = РВ, QА = QВ, РQ – общая сторона). Значит, углы АРQ и ВРQ равны.

Треугольники АPL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АРL = ∠ВРL, РА = РВ, PL – общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL.

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ.

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Задача 1

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Рис. 3.

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО. Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС, значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, . Рассмотрим треугольник DAO. В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM – не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO, он не может быть прямым, так как угол МОВ – прямой.

Ответ: .

Задача 2

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

Рис. 4.

Решение:

Найдем длину АВ по теореме Пифагора:  (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ,  (см).

Рассмотрим треугольник КСМ. Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС, а значит, КС перпендикулярна СМ. Значит, треугольник КСМ – прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора:  (см).

Ответ: 13 см.

Напоминание свойства медианы в прямоугольном треугольники

При решении задачи мы пользовались важным свойством. Напомним его.

В треугольнике АВС угол С равен 90° тогда и только тогда, когда медиана  (рис. 5).

Рис. 5.

1) Рассмотрим треугольник АСВ, . Достроим треугольник до прямоугольника (рис. 5). Диагонали в прямоугольнике равны и делятся точкой пересечения пополам. Отсюда получаем, АМ = СМ = ВМ, .

2) Пусть в треугольнике АВС медиана . Треугольник СМB – равнобедренный, . Треугольник СМА – равнобедренный, . Запишем сумму всех углов треугольника АВС:

. .

Итоги урока

Мы рассмотрели признак перпендикулярности прямой и плоскости и доказали его. На следующем уроке мы продолжим изучение темы «Перпендикулярность прямой и плоскости»

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьные страницы (Источник)

2. Школьные страницы (Источник)

3. ЕГЭ (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С. М – середина основания ВС. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ.