Прямоугольный параллелепипед

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Определение параллелепипеда

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырех параллелограммов АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DАА₁D₁, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А₁В₁С₁D₁ (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА₁, ВВ₁, DD₁, СС₁ параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А₁В₁С₁D₁ (равные параллелограммы по определению),

АА₁В₁В = DD₁С₁С (так как АА₁В₁В и DD₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда),

АА₁D₁D = ВВ₁С₁С (так как АА₁D₁D и ВВ₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС₁, В₁D, А₁С, D₁В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 – AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА₁ перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА₁ перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА₁⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А₁В₁С₁D₁ – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ₁ и АВС.

АВ – ребро, точка А₁ лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ₁, а точка D в другой – в плоскости А₁В₁С₁D₁. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А₁АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА₁ – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ­₁, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А₁АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А₁АD  =  90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ₁, АВС) = ∠(АВ) = ∠А₁АВD= ∠А₁АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС₁А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС₁ = АА₁, то что и требовалось доказать.

Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС₁ = СА₁ = В₁D = DВ₁ =

Рис. 6

Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Задача 1 Найти диагональ куба

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Рис. 7

Решение:

 см.

Ответ:   см.

Задача 2

Рисунок

Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС₁ и А₁В₁D перпендикулярны.

Рис. 8

Доказательство:

Прямые ВС₁ и В₁С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ₁С₁С.

Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ₁С₁, а значит, и прямой ВС₁, которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая ВС₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым В₁С и DC плоскости, значит А₁В₁D. Значит, прямая ВС₁ перпендикулярна плоскости А₁В₁D.

Плоскость АВС₁ проходит через перпендикуляр ВС₁ ко второй плоскости А₁В₁D, значит, плоскости АВС₁ и А₁В₁D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

Итоги урока по теме "Прямоугольный параллелепипед и его измерения (ребра, основание, площадь, диагональ, поверхность, площадь поверхности)"

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

 

Список литературы по теме "Прямой параллелепипед", "Ребра прямоугольного параллелепипеда", "Основание параллелепипеда", "Поверхность параллелепипеда", "Длина диагонали параллелепипеда"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание для закрепления темы "Основание параллелепипеда", "Поверхность параллелепипеда", "Основание прямоугольного параллелепипеда", "Вершины параллелепипеда", "Основание прямого параллелепипеда", "Измерения параллелепипеда"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Задания 8, 14 стр. 68.
3. Каково взаимное расположение двух смежных граней прямого параллелепипеда? А не смежных?
4. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и его гранями в прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c.
5. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁, если AB = 5 см, AD = 4 см, AA₁ = 7 см, а двугранный угол при ребре AA₁ равен 30°.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ФМ Класс (Источник).
2. Интернет-портал Webmath.exponenta.ru (Источник).
3. Я класс (Источник).