В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁дано:

D₁B = d, AC = m, AB = n.

Найдите расстояние между:

а) прямой А₁С₁ и плоскостью АВС;

б) плоскостями АВВ₁ и DCC₁:

в) прямой DD₁ и плоскостью ACC₁;

Найдите:

г) косинус угла между прямой D₁B и плоскостью АВС;

д) расстояние между прямыми DD₁ и AC.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁– прямоугольный параллелепипед.

D₁B = d, AC = m, AB = n.

Рис. 4

а) ρ (А₁С₁, АВС)

Решение:

Пусть ВС = х, DD₁ = y.

Найдем ВС из прямоугольного треугольника АВС с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, х .

BD = AC = m (как диагонали в прямоугольнике). Найдем DD₁из прямоугольного треугольника BDD₁с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, у .

Прямая А₁С₁параллельна плоскости АВС. Значит, расстоянием между прямой и плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой А₁С₁ на плоскость АВС, например, АА₁. Значит, ρ (А₁С₁, АВС) = АА₁ = = у .

Ответ:

б) ρ (АВВ₁, DCC₁)

Плоскости АВВ₁ и DCC₁ параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр, опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например, перпендикуляр ВС. Из пункта а) имеем:.

Ответ:

в) ρ (DD₁, ACC₁).

Прямая DD₁параллельна прямой АА₁ из плоскости АА₁С₁, а значит, прямая DD₁параллельна плоскости АА₁С₁. Опустим с точки Dпрямой DD₁перпендикуляр DH к прямой АС (рис. 5).

Рис. 5

Прямая АА₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой DH, так как .

Получаем, что прямая DHперпендикулярна двум пересекающимся прямым АА₁ и АС из плоскости АА₁С₁. Значит, прямая DH– есть перпендикуляр к плоскости ACC₁. Тогда, DH = ρ (DD₁, ACC₁).

Рис. 6

Из прямоугольного треугольника DHC выразим DH:

Из прямоугольного треугольника ADC имеем:

Получаем:

Ответ: .

г)

Решение:

Угол между прямой D₁Bи плоскостью АВС равен углу между прямой D₁B и ее проекцией на плоскость АВС. DD₁ – перпендикуляр к плоскости АВС. Значит, проекция D₁Bна плоскость АВС – это DB. Значит, ∠(D₁B, ABC) = ∠DBD₁ = φ.

Ответ: .

д) ρ (DD₁, AC).

Решение:

Прямая АС лежит в плоскости АВС, а прямая DD₁ пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, прямые DD₁ и AC скрещиваются. Прямая DD₁ параллельна плоскости АСС₁, в которой лежит прямая АС.

Значит, ρ (DD₁, AC) = ρ (DD₁, ACC₁) = .

Ответ: .