Решение задач

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Решение задач

Тема урока

Данный урок поможет при самостоятельном изучении темы «Решение задач».

Задача 1

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. АС = 4 см, СМ = 2√7 см.

Найдите:

1) Расстояние от точки М до прямой АВ.

2) Углы наклона прямых МD и МА к плоскости АВС, где точка D – середина отрезка АВ.

3) Расстояние от точки D до плоскости АСМ.

4) Угол наклона прямой МD к плоскости АСМ.

Рис. 1

Дано: ∆АВС, ∠АСВ = 90°,

АС = ВС,

АС = 4 см,

СМ ⊥ АВС,

СМ = 2√7 см.

1) Найти: ρ (М; АВ).

В задаче требуется найти расстояние от точки М до прямой АВ. Докажем, что это расстояние есть отрезок МD, где D середина АВ.

Треугольник АВС – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана СD является и высотой.

МС – перпендикуляр к плоскости АВС, МD –наклонная, СD - ее проекция на плоскость АВС. Так как проекция СD перпендикулярна АВ, то и наклонная МD перпендикулярна АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, МD и является расстоянием от точки до прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Найдем СD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МСD и найдем из него отрезок МD по теореме Пифагора.

см).

Ответ: 6 см.

2) Найти: ∠(МD, АВС), ∠(МA, АВС).

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. СD - проекция наклонной МD на плоскость АВС. Значит, ∠(МD, АВС) = ∠(МD, СD) = ∠МDС = 𝜑.

Тогда из прямоугольного треугольника МСD имеем:

Значит,

СA - проекция наклонной МA на плоскость АВС. Значит, ∠(МA, АВС) = ∠(МA, СA) = ∠МAС = . Из прямоугольного треугольника АСМ имеем:

Значит,

Ответ:

3) Найти: ρ (D; АСМ).

Нужно построить перпендикуляр к плоскости АСМ, который проходит через точку D, и найти длину этого перпендикуляра.

Рис. 2

Проведем прямую DН перпендикулярно прямой АС (рис. 2). Прямая DН перпендикулярна прямой МС, потому что МС перпендикуляр плоскости АВС. Имеем, прямая DН  перпендикуляра двум пересекающимся прямым МС и АС плоскости МАС. Значит, DН – перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, DH и есть искомое расстояние: DH = ρ (D; АСМ).

Прямые DH и СВ параллельны, так как они перпендикулярны одной и то же прямой АС. D – середина отрезка АВ. Параллельные прямые DH и СВ отсекают на стороне АВ угла САВ равные отрезки AD и DB, а значит, и на стороне АС, то есть АН = НС. Значит, DH – средняя линия треугольника АВС. Значит, по ее свойствам,

Ответ: 2 см.

4) Найти: ∠(МD, АСМ)

Прямая DH перпендикулярна плоскости АСМ. Значит, МН – это проекция наклонной МD на плоскость АСМ. Тогда угол между прямой МD и плоскостью АСМ – это угол между прямой МD и ее проекцией МН, то есть угол НМD.

Треугольник DМН прямоугольный, так как DН перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, и к прямой МН, лежащей в этой плоскости.

Ответ:

Задача 2

В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найдите тангенс угла между прямой АА₁ и плоскостью ВС₁D.

Рис. 3

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть точка О – точка пересечения прямых АС и BD, а точка О₁ – точка пересечения прямых А₁С₁ и B₁D₁. Заметим, что АА₁∥ О₁О ∥ С₁С, прямые АА₁, О₁О, С₁С перпендикулярны плоскости основания АВС.

Первый способ.

Прямая ОО₁ перпендикулярна плоскости основания АВС и параллельна прямой АА₁. Найдем угол между прямой ОО₁ и плоскостью ВС₁D.

Заметим, что прямая ОО₁ перпендикулярна ВD,  так как прямая ВD лежит в плоскости АВС.

Проведем из точки О₁ перпендикуляр О₁Н к плоскости ВС₁D. Тогда ОО₁ – наклонная, а ОН – проекция наклонной ОО₁ на плоскость ВС₁D. Так как наклонная ОО₁ перпендикулярна прямой ВD из плоскости ВС₁D, то и ее проекция ОН также перпендикулярна ВD.

Прямая С₁О перпендикулярна прямой ВD, но через точку О проходит прямая ОН, перпендикулярная прямой ВD. Значит, прямые ОН и ОС₁ совпадают. То есть, точка Н лежит на прямой ОС₁.

Имеем, О₁Н  - перпендикуляр к плоскости ВС₁D. ОО₁ – наклонная, а ОН – проекция наклонной ОО₁ на плоскость ВС₁D. Тогда, угол между прямой ОО₁ и плоскостью ВС₁D –это угол между прямой ОО₁ и ее проекцией ОН, то есть угол О₁ОН или О₁ОС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО₁С₁ (∠ОО₁С₁= 90°). Пусть ребро куба равно а. Тогда:

Второй способ.

Рассмотрим прямую С₁С и найдем угол между прямой С₁С и плоскостью ВС₁D. Заметим, что точка С равноудалена от точек В, С₁, D, так как ВС = а; DС = а; СС₁ = а.

Мы знаем, что если точка равноудалена от вершин треугольника, то она проектируется в центр описанной окружности, а центр описанной окружности в треугольнике лежит на серединных перпендикулярах. Пусть Н₁ - центр описанной окружности около треугольника ВС₁D. Тогда точка С проектируется в точку Н₁. Точка Н₁ лежит на прямой ОС₁. Получаем, что СН₁ перпендикуляр к плоскости ВС₁D, а значит, С₁Н₁ – это проекция С₁С на плоскость ВС₁D. Получаем, угол СС₁Н₁ или СС₁О и есть угол между прямой СС₁ и плоскостью ВС₁D. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОСС₁. Тогда:

Ответ:

Задача 3 (опорная задача)

Дано: Наклонная

Построить: Проекцию Н точки А на плоскость .

Рис. 4.

Построение:

Так как наклонная перпендикулярна прямой из плоскости, то эта прямая из плоскости перпендикулярна и проекции наклонной.

Проведем прямую МН перпендикулярно прямой с в плоскости . Таким образом, мы получим проекцию всей прямой АМ на плоскость .

Проведем прямую АН перпендикулярно прямой МН и таким образом получим искомую точку Н. 

Задача 4

В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ с ребром 1 найти расстояние от центра грани АВВ₁А₁ до плоскости ВС₁D.

Рис. 5.

Решение:

О – центр грани АВВ₁А₁ (рис. 5).

Пусть Q – середина отрезка С₁D, тогда прямые ОQ, АD, В₁С₁ являются перпендикулярами к грани DСС₁. Прямые ОQ, АD, В₁С₁ - параллельны. Заметим, что прямая ОQ перпендикулярна С₁D.

С точки О опустим перпендикуляр ОН на плоскость ВС₁D. OH – и есть искомое расстояние Так как наклонная ОQ перпендикулярна прямой С₁D из плоскости ВС₁D, то и ее проекция НQ перпендикулярна С₁D.

Треугольник ВDС₁ – это правильный треугольник. Каждая его сторона – это диагональ квадрата, т.е. равна . Значит, так как BQ – медиана правильного треугольника, то BQ является и высотой. То есть прямая BQ перпендикулярна прямой С₁D.

Получаем, что через точку Qпроходят две прямые BQи НQ, перпендикулярные прямой С₁D. Значит, прямые BQ и НQ – совпадают, то есть точка Н лежит на прямой BQ. 

Рассмотрим треугольник ВОQ (рис. 6).

Рис. 6.

ОQ = 1. ОВ – это половина диагонали квадрата со стороной 1. Значит, .

Найдем площадь треугольника ВОQ:

С другой стороны, площадь треугольника ВОQ равна:

Значит,

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

На следующем уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой – двугранным углом.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Банк ЕГЭ (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 9, 10, 11 стр. 62

2. Точка М находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

3. Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АН и наклонные АВ и АС, АВ = 25 см, АС = 17 см, проекции наклонных на плоскость α относятся как 5 : 2. Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

4. Точка М равноудалена от сторон квадрата АВСD и находится на расстоянии  см от плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до стороны квадрата, если сторона квадрата равна 4 см.