Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. АС = 4 см, СМ = 2√7 см.

Найдите:

1) Расстояние от точки М до прямой АВ.

2) Углы наклона прямых МD и МА к плоскости АВС, где точка D – середина отрезка АВ.

3) Расстояние от точки D до плоскости АСМ.

4) Угол наклона прямой МD к плоскости АСМ.

Рис. 1

Дано: ∆АВС, ∠АСВ = 90°,

АС = ВС,

АС = 4 см,

СМ ⊥ АВС,

СМ = 2√7 см.

1) Найти: ρ (М; АВ).

В задаче требуется найти расстояние от точки М до прямой АВ. Докажем, что это расстояние есть отрезок МD, где D середина АВ.

Треугольник АВС – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана СD является и высотой.

МС – перпендикуляр к плоскости АВС, МD –наклонная, СD - ее проекция на плоскость АВС. Так как проекция СD перпендикулярна АВ, то и наклонная МD перпендикулярна АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, МD и является расстоянием от точки до прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Найдем СD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МСD и найдем из него отрезок МD по теореме Пифагора.

см).

Ответ: 6 см.

2) Найти: ∠(МD, АВС), ∠(МA, АВС).

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. СD - проекция наклонной МD на плоскость АВС. Значит, ∠(МD, АВС) = ∠(МD, СD) = ∠МDС = 𝜑.

Тогда из прямоугольного треугольника МСD имеем:

Значит,

СA - проекция наклонной МA на плоскость АВС. Значит, ∠(МA, АВС) = ∠(МA, СA) = ∠МAС = . Из прямоугольного треугольника АСМ имеем:

Значит,

Ответ:

3) Найти: ρ (D; АСМ).

Нужно построить перпендикуляр к плоскости АСМ, который проходит через точку D, и найти длину этого перпендикуляра.

Рис. 2

Проведем прямую DН перпендикулярно прямой АС (рис. 2). Прямая DН перпендикулярна прямой МС, потому что МС перпендикуляр плоскости АВС. Имеем, прямая DН перпендикуляра двум пересекающимся прямым МС и АС плоскости МАС. Значит, DН – перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, DH и есть искомое расстояние: DH = ρ (D; АСМ).

Прямые DH и СВ параллельны, так как они перпендикулярны одной и то же прямой АС. D – середина отрезка АВ. Параллельные прямые DH и СВ отсекают на стороне АВ угла САВ равные отрезки AD и DB, а значит, и на стороне АС, то есть АН = НС. Значит, DH – средняя линия треугольника АВС. Значит, по ее свойствам,

Ответ: 2 см.

4) Найти: ∠(МD, АСМ)

Прямая DH перпендикулярна плоскости АСМ. Значит, МН – это проекция наклонной МD на плоскость АСМ. Тогда угол между прямой МD и плоскостью АСМ – это угол между прямой МD и ее проекцией МН, то есть угол НМD.

Треугольник DМН прямоугольный, так как DН перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, и к прямой МН, лежащей в этой плоскости.

Ответ: