Угол между прямой и плоскостью

На этом уроке мы введем понятие угла между прямой и плоскостью, дадим его строгое определение и решим задачи, в которых будет встречаться данный угол.

Введение

Наверняка вы слышали такое выражение: «Солнечный луч падает под углом…». (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Падает солнечный луч

По сути, здесь идет речь об угле между прямой, частью которой является луч, и «плоскостью» земной поверхности (хотя она, конечно, не совсем плоская).

Мы привыкли, что угол бывает между двумя лучами (см. Рис. 2) или прямыми (см. Рис. 3).

Рис. 2. Угол между лучами

Рис. 3. Угол между прямыми

Как же определить угол между прямой и плоскостью?

Определение

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция (см. Рис. 4).

Рис. 4. Угол между прямой и плоскостью

Так, проекции всех точек данной прямой будут лежать на одной прямой.

Доказательство

Пусть – точка пересечения прямой и плоскости , и – точки на прямой , и – их проекции на плоскость . Докажем, что , и лежат на одной прямой . (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Заметим, что , так как , . Значит если рассмотреть плоскость , то точки и будут принадлежать ей. Но плоскость пересекает исходную плоскость по некоторой прямой. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Пересечение плоскостей

Значит раз точки , и принадлежат обеим плоскостям, то они лежат на этой прямой, что и требовалось доказать.

То есть мы свели новое определение к углу между прямыми, который мы уже знаем.

Обратите внимание на частую ошибку, которую допускают ученики. Углом между прямой и плоскостью называется угол именно между прямой и ее проекцией, а не между прямой и любой прямой в плоскости. Потому как такие углы могут быть разными.

Пример (куб)

Рассмотрим куб .

Решение

А) Найдите угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру А

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – это угол (см. Рис. 9), а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

Рис. 9. Искомый угол

Обратите внимание, что если взять вместо другую прямую из плоскости основания, например , то угол будет другим – в данном случае , так как треугольник равносторонний (все стороны – диагонали граней). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Угол в равностороннем треугольнике

Так что угол между прямой и плоскостью – это совсем не угол между прямой и любой прямой в плоскости.

Б) Чему равен угол между и ? (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация к примеру Б

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Рис. 12. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – (см. Рис. 13).

Рис. 13. Искомый угол

Его можно найти из треугольника (см. Рис. 14).

Рис. 14. Треугольник

Треугольник прямоугольный, т. к. , , значит, (см. Рис. 15).

Рис. 15. Выносной рисунок треугольника

Если взять сторону куба за , тогда , и .

Ответ: , .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Вспомните, что расстояние от точки до плоскости – это кратчайший из отрезков, соединяющий исходную точку с точкой плоскости. Подобное верно и для угла: угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Доказательство

Пусть прямая пересекает плоскость в точке , – проекция на плоскость, а – произвольная прямая в плоскости, проходящая через . Пусть также – перпендикуляр на прямую . (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к доказательству

Тогда несложно видеть, что а . Так как – кратчайшее расстояние от точки до плоскости, то , а значит, .

Пример (пирамида)

Найдите угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и ее основанием, если все ее ребра равны . (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Иллюстрация к примеру

Решение

Пусть – центр основания пирамиды . Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. вершина правильной пирамиды проектируется в центр основания. Тогда искомый угол – . (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Искомый угол

( – половина диагонали квадрата ), . Значит, , то есть искомый угол .

Ответ: .

Пример

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны . Найти угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Сперва заметим, что, если параллельно перенести прямую , искомый угол не поменяется. Рассмотрим и – середины и соответственно. Тогда можно вместо искать угол между и плоскостью. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Искомый угол – угол между и плоскостью

Далее, заметим, что – проекция точки – попадет на . Действительно, по теореме о трех перпендикулярах, раз и , то есть проекция . А тогда искомый угол – (См. Рис. 21.)

Рис. 21. Искомый угол –

Рассмотрим треугольник . , . Тогда если – середина , то и значит, . (См. Рис. 22.)

Рис. 22. Выносной рисунок

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью. Выяснили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Также выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости. Узнали, что угол между прямой и проекцией является наименьшим из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости. Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование введенного определения.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Погорелов А.В. Геометрия 10 класс. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

3. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 класс. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт resolventa.ru (Источник)

2. Интернет-сайт school.xvatit.com (Источник)

3. Интернет-сайт 100ballov.kz (Источник)

Домашнее задание

1. Длина отрезка равна . Он пересекает плоскость в точке . Расстояния от концов отрезка до плоскости соответственно равны и . Найдите острый угол, который образует отрезок с плоскостью.

2. Прямая , проведенная из точки к данной плоскости, равна . Чему равна проекция этой прямой на плоскость, если угол между прямой и данной плоскостью равен ?

3. Под углом к плоскости проведена прямая. Найдите , если известно, что проекция прямой вдвое меньше самой прямой.