Рассмотрим куб .

Решение

А) Найдите угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру А

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – это угол (см. Рис. 9), а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

Рис. 9. Искомый угол

Обратите внимание, что если взять вместо другую прямую из плоскости основания, например , то угол будет другим – в данном случае , так как треугольник равносторонний (все стороны – диагонали граней). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Угол в равностороннем треугольнике

Так что угол между прямой и плоскостью – это совсем не угол между прямой и любой прямой в плоскости.

Б) Чему равен угол между и ? (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация к примеру Б

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания (см. Рис. 12).

Рис. 12. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – (см. Рис. 13).

Рис. 13. Искомый угол

Его можно найти из треугольника (см. Рис. 14).

Рис. 14. Треугольник

Треугольник прямоугольный, т. к. , , значит, (см. Рис. 15).

Рис. 15. Выносной рисунок треугольника

Если взять сторону куба за , тогда , и .

Ответ: , .