05. Задачи на разложение вектора по трём некомпланарным векторам (более сложные случаи)

Задача о тетраэдре

Задача 1: задан треугольник . Точка – точка пересечения медиан. Точка – произвольная точка пространства. Разложить вектор  по векторам ,  и . (рис. 1)

Способ 1:

Согласно правилу треугольника .

Продлим отрезок до пересечения со стороной треугольника (рисунок 2), получим точку  – середину этой стороны (точка М по условию точка пересечения медиан треугольника). Кроме того, вспомним свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая рассекает их в отношении , считая от вершины. Так, имеем:

Снова применим правило треугольника:

Способ 2:

С другой стороны: .

Кроме того: .

Имеем систему:

Сложим все уравнения системы:

Рассмотрим произвольный треугольник . – точка пересечения медиан (рисунок 3).

Существует такое свойство: если силу  направить по вектору , силу  по вектору , силу  по вектору , то эти силы уравновесятся, то есть имеем равенство:

Данное равенство справедливо в силу свойства точки пересечения медиан, а именно того, что она делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Найдем сумму векторов  и  по правилу параллелограмма:  (рисунок 4)

Согласно свойству параллелограмма (точка пересечения диагоналей делит их пополам) .

Согласно свойству точки пересечения медиан треугольника: . Так, имеем:

Аналогичное доказательство для двух любых сил.

Вернемся к нашей задаче: .

Так, получено: ; .

Задача о параллелепипеде

Задача 2: задан произвольный параллелепипед .  – диагональ параллелепипеда. Из вершины выходят ребра , , . Их концы образуют треугольник . В этом треугольнике  – точка пересечения медиан. Из второго конца диагонали  выходят три ребра: , , . Их концы образуют треугольник . Точка  – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что прямая  содержит точки  и ; доказать, что плоскости треугольников делят диагональ  параллелепипеда в отношении: .

Проиллюстрируем условие (рис. 5):

Из предыдущей задачи имеем: .

С другой стороны по правилу параллелепипеда: .

Отсюда заключаем: .

Очевидно, что векторы коллинеарны и все три точки (,  и ) лежат на одной прямой. Кроме того, имеем отношение:

Аналогичным образом выясняем, что точка  принадлежит диагонали параллелепипеда и:

Так, доказано, что прямая  содержит точки  и  и .

Итак, мы вспомнили основные понятия и рассмотрели решение достаточно сложных задач на компланарность векторов.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. Задача 1: даны четыре точки , , и , причем точка не принадлежит прямой . Докажите, что если , причем  и – произвольная точка пространства, то эти точки принадлежат одной плоскости.

2. Задача 2: в параллелепипеде  точка принадлежит ребру , точка принадлежит ребру , причем . Найдите отношение  и .

3. Задача 3: основанием пирамиды служит параллелограмм . , , причем , где – середина . Найдите отношение .

    

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «studopedia.ru» (Источник).