Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

Ответ: .

Уравнение прямой в отрезках

Пусть – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси и в точках и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок , а отрезок .

Выведем данное уравнение.

Дано: точка ; точка ; , (прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется: вывести уравнение прямой .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Прямая – это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .

Необходимо найти коэффициент и свободный член . Для этого подставляем координаты точек и , лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:

Обе части уравнения умножаем на :

Обе части уравнения делим на произведение :

Мы получили уравнение прямой в отрезках:

Пример

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой .

Решение

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:

Ответ: .

Задача типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите значение параметра , при котором система неравенств имеет единственное решение.

Решение

1. Рассмотрим первое неравенство.

Неравенство задает круг с центром в точке и радиуса (см. Рис. 9).

Координаты точки зависят от параметра: .

Радиус также зависит от параметра: .

Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. Рассмотрим второе неравенство.

Неравенство задает полуплоскость под прямой , так как:

Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .

3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:

Подставим значение в первое уравнение:

Сделаем замену:

Тогда:

Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.

Так как , то:

Выполним проверку этих значений параметра .

а) Если , то координаты центра окружности равны . Подставим координату в уравнение прямой и сравним получившееся значение со второй координатой центра окружности:

Следовательно, точка лежит над прямой , и значение нам подходит.

б) Можно выполнить проверку другим способом.

Если , то координаты центра окружности равны .

Подставим значения и в неравенство :

– неверно, следовательно, точка также не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .

Таким образом, искомые значения параметра равны: , .

Ответ: , .

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано: точки и на наклонной прямой (см. Рис. 10).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 10. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Выберем произвольную точку , находящуюся на прямой . Вектор коллинеарен вектору (см. Рис. 10), следовательно:

В координатном виде это выглядит следующим образом:

Векторное равенство дает систему из двух уравнений:

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при .

Ответ: .

Если , то это вертикальная прямая.

Если , то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны две точки , . Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:

Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:

В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано: точки и на наклонной прямой (см. Рис. 11).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

Получаем систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

Вычтем из первого уравнения второе:

Следовательно:

Ответ: , где и .

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9 (Источник)

2. Докажите, что прямые, заданные уравнениями и , параллельны.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .