Из теоремы синусов вытекает важное следствие.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

,

где R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).

Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:

Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от угла α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства рассмотрим три случая:

1. Угол – острый в треугольнике АВС (рис. 3)

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Проведём диаметр . В этом случае точка А и точка лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что . Треугольник прямоугольный, в нём угол равен 90, так как он опирается на диаметр .

Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В=2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.

Следовательно

В первом случае теорема доказана.

2. Угол – тупой в треугольнике АВС (рис. 4)

Проведём диаметр окружности . Точки А и по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна . Следовательно, =.

Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):

=

Также мы знаем, что .

В треугольнике угол при вершине С равен 90, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Следовательно

Во втором случае теорема доказана.

3. Угол (рис. 5)

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона , где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:

И в третьем случае теорема доказана.