01. Квадратные уравнения. Основные понятия
02. Формулы корней квадратных уравнений
03. Применение формул корней квадратных уравнений
04. Решение задач с помощью квадратных уравнений
20 мин
05. Уравнение x² = a. Нахождение приближённых значений квадратного корня
23 мин
06. Алгоритм решения рациональных уравнений
07. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Задачи на движение
08. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций (продолжение)
09. Ещё одна формула для корней квадратных уравнений
10. Теорема Виета
11. Теорема Виета. Решение задач
23 мин
12. Разложение квадратного трёхчлена на множители
13. Иррациональные уравнения
14. Квадратные уравнения. Повторение теории. Типовые задачи
15. Квадратные уравнения. Повторение теории. Задачи повышенной сложности
09. Ещё одна формула для корней квадратных уравнений
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы рассмотрим ещё одну формулу для корней квадратного уравнения. Эта формула применяется в тех случаях, когда коэффициент легко делится на 2.
Рассмотрим квадратное уравнение , .
Мы уже знаем формулу для корней квадратного уравнения: .
Рассмотрим случай, когда коэффициент b легко делится на 2. Тогда: . Подставим это выражение в исходную формулу: Если теперь обратно подставить , то получим: .
Основное преимущество этой формулы состоит в том, что она упрощает вычисления (в 2 или в 4 раза).
Если вернуться к исходному уравнению, то можно вспомнить о дискриминанте: , тогда под корнем в этой формуле стоит выражение: . Тогда ещё одна формула для корней квадратного уравнения выглядит следующим образом: .
Рассмотрим несколько примеров на применение полученной формулы.
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение
Выпишем коэффициенты данного уравнения: ; ; .
Теперь применим полученную формулу:
Ответ: ;
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 2
Решить уравнение: .
Решение
Выпишем коэффициенты данного уравнения: ; ; .
Теперь применим полученную формулу: .
При желании можно сократить на и числитель, и знаменатель. Однако в этом случае в знаменателе появится иррациональность, от которой обычно просят избавляться. Поэтому оставим ответ в таком виде.
Ответ: .
Теперь рассмотрим пример решения квадратного уравнения с параметром.
Пример 3
Решить уравнение: .
Решение
Перепишем данное уравнение в виде: . В данном случае: ; ; .
Теперь запишем полученную нами формулу для корней квадратного уравнения (несмотря на присутствие параметра, коэффициент всё равно «хорошо» делится на ).
Ответ: ; .
При решении данного уравнения могут возникать дополнительные вопросы.
Например:
1. Может ли у данного уравнения не быть корней? Ответ: нет, так как . То есть, наше уравнение всегда имеет два корня, причём различных.
2. Может ли у данного уравнения быть один корень? Ответ: нет. См. пояснение к предыдущему вопросу. Можно ответить на этот вопрос по-другому: – невозможно.
3. При каких значениях параметра уравнение имеет различных корня? Ответ: при всех значениях. См. пояснение к первому вопросу. Можно пояснить ответ на этот вопрос следующим образом: , то есть у уравнения всегда будет корня, один из которых на больше второго.
На этом уроке мы вывели и научились пользоваться ещё одной формулой для корней квадратного уравнения.
На следующем уроке мы познакомимся с теоремой Виета.
Список литературы
Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение. 2004.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Проверь себя
Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) .
Решить уравнение:
а) ;
б) .
№ 449–452. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.